6-1. 過不足算（差集め算）

[Rev.0.00 2020/4/13]

こんにちは、kaneQです

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

今回から６章が始まります。６章では面積図を中心とした回答方法を学びます

今回のゴールは以下です
ゴール：面積図で差に注目した解法を理解する

本記事では、「過不足算（差集め算）」を紹介します

過不足算（差集め算）とは、数量を分配する際の差や過不足の量から全体の量等を求める問題です。過不足算と差集め算は別物なのですが、本記事では区別しません。同じと考えてもらってもよいです

 本記事では以下の８つの問題を紹介します

今回紹介する問題は、全て線分図でも解けるのですが面積図の勉強を進めたいので面積図に挑戦してみてください

【問１】（基本：あまりとちょうどの問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に１０個ずつ配ると８個あまるが、１人に１２個ずつ配るとちょうど分けられます。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

【問２】（基本：あまりと不足がある問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に６個ずつ配ると１２個あまるが、１人に８個ずつ配ると６個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

【問３】（基本：どちらの配り方でもあまりがある問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に５個ずつ配ると５５個あまるが、１人に９個ずつ配ると２３個あまります。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

【問４】（基本：どちらの配り方でも不足がある問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に１０個ずつ配ると６８個不足し、１人に５個ずつ配ると８個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

【問５】（応用：考えるべき数が変わる問題））
１個１００円のリンゴを何個か買う予定で、お金をちょうど持ってでかけましたが、１個８０円だったので予定より２個多く買えて２０円あまりました。持っていったお金は何円ですか？

【問６】（応用：配る数がちがう問題）
何人かの子どもにガムを配ります。３人に１０個ずつ、４人に８個ずつ、残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまります。全員に７個ずつ配ると３個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

【問７】（応用：配る人数がちがう問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に１５個ずつ配ると１２個あまります。一方で２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

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【問８】（応用：配る物が複数ある問題）
何人かの子どもにアメとガムを配ります。アメはガムの２倍あります。ガムを６個ずつ配ると２個余り、アメを１３個ずつ配ると３個不足します。子供の人数とアメ、ガムの数をもとめましょう。

それでは問１からやっていきましょう。問１～問４は基本問題です

基本問題を解くときのポイントは以下でしたね
1.問題文を、先頭から順に、そのまま図に書く
2.図に書く事で見えてくる事を図に書き足していく
3.いつのまにか問題が解けている

面積図でも上記手順で解き進める事ができます

問５～問８は応用問題です。応用問題は少し難易度が高めです。理解できない場合は、まずは基本問題のみをしっかり理解するようにしましょう。応用問題は６年生になってからでも十分です

本記事は面積図を使った解法を中心に説明しますが、表を使った解法も紹介しておきます。面積図は過不足に注目した解き方、表を使った解法は差に注目した解き方と言えます。問題によって向き不向きがあります。ちょっと大変ですが、両方の解法を使いこなせるようにしておくと応用力が付きますので頑張って下さい

また、先ほどお話ししましたが、今回取り上げる問題は線分図でも解けます。問１だけ、線分図を使った解法も紹介しておきます

【問１】（基本：あまりとちょうどの問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に１０個ずつ配ると８個あまるが、１人に１２個ずつ配るとちょうど分けられます。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

(解１：面積図を使った解き方)
１人に配るガムの個数によってあまりがでたりでなかったりする問題です。このあまりに注目して面積図で解いてみたいと思います

まず「１人に１０個ずつ配ると８個あまる」を面積図に書きましょう。子供が何人いるかわからないので☐人いるとします

次に「１人に１２個ずつ配るとちょうど分けられます」を図に書き足してみます

最後に１２個と１０個の差は２個なので差の２個を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、２個×☐人＝８個となりますので☐＝４人と求まります。また、☐＝４人なのでガムの数は４人×１２個で４８個になります

(解２：差に注目した解き方)
差に注目した図（表）を作成して解く方法もありますので紹介しておきます

子供が何人いるかわからないので☐人いるとします。その☐人にガムを１０個ずつ配る事を「１０・・・・・・・・・・・１０」と書いてみます。ガムを１０個ずつ配ると８個あまるので右側に「８個あまる」とメモしておきます
同様にガムを１２個ずつ配る事を「１２・・・・・・・・・・・１２」と書いてみます。「ガムを１２個ずつ配るとちょうど分けられます」はの「ちょうど分けられます」は右側に「０個あまる」とメモしておきます
次に、１人に配るガムの個数の差を「２・・・・・・・・・・・２」と書いてみます

また、☐人に配るガムの個数の差は先ほどメモした「８個あまる」「０個不足」をあわせた「８個」となるので「８」をメモしておきます

ここで差の部分に注目します。１人に配るガムの個数の差が２で、この差を☐人分集めると全体で８個の差になるので、２個×☐人＝８個となり☐＝４人と求まります
また、ガムは４人に１２個ずつ配るとちょうど配れるので、ガムの個数は４×１２＝４８個と求まります

(解３：線分図を使用した解き方)

 線分図で解く場合、子供の数を①として考えます。子供の数を①とすると、「１人に１０個ずつ配る」は⑩とあらわせるので「８個あまる」とあわせて書くと以下のようになります

次に、「１人に１２個ずつ配るとちょうど分けられます」を書き足します

ここから何か分かるでしょうか？

⑫と⑩の差は②です。差の②を図に書き足してみましょう

②＝８となります。よって①＝４となります。①は子供の数でしたね。よって子供は４人であることが分かりました。子供の数を①とした場合のガムの数が⑫なので、ガムの数は１２×４＝４８個となります

【問２】（基本：あまりと不足がある問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に６個ずつ配ると１２個あまるが、１人に８個ずつ配ると６個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。
この問題も面積図を使った解き方と差に注目した解き方を考えてみます

(解１：面積図を使った解き方)

まず「１人に６個ずつ配ると１２個あまる」を面積図に書きましょう。子供が何人いるかわからないので☐人いるとします

次に「１人に８個ずつ配ると６個不足します」を図に書き足してみます

最後に８個と６個の差は２個なので差の２個を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、２個×☐人＝１８個となりますので☐＝９人と求まりますね。また、☐＝９人なのでガムの数は９人×６個＋１２個で６６個になります

(解２：差に注目した解き方)
差に注目した解き方は図(表)のみ紹介しておきます。詳細は省略します

　

【問３】（基本：どちらの配り方でもあまりがある問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に５個ずつ配ると５５個あまるが、１人に９個ずつ配ると２３個あまります。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

(解１：面積図を使った解き方)

まず「１人に５個ずつ配ると５５個あまる」を面積図に書きましょう。子供が何人いるかわからないので☐人いるとします

次に「１人に９個ずつ配ると２３個不足します」を図に書き足してみます

最後に９個と５個の差は４個なので差の４個を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、４個×☐人＝３２個となりますので☐＝８人と求まりますね。また、☐＝８人なのでガムの数は８人×５個＋５５個で９５個になります

(解２：差に注目した解き方)
差に注目した解き方は図(表)のみ紹介しておきます。詳細は省略します

　

【問４】（基本：どちらの配り方でも不足がある問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に１０個ずつ配ると６８個不足し、１人に５個ずつ配ると８個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

(解１：面積図を使った解き方)

まず「１人に１０個ずつ配ると６８個不足」を面積図に書きましょう。子供が何人いるかわからないので☐人いるとします

次に「１人に５個ずつ配ると８個不足」を図に書き足してみます

最後に１０個と５個の差は５個なので差の５個を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、５個×☐人＝６０個となりますので☐＝１２人と求まりますね。また、☐＝１２人なのでガムの数は１２人×５個－８個で５２個になります

(解２：差に注目した解き方)
差に注目した解き方は図(表)のみ紹介しておきます。詳細は省略します

　

本記事では問５以降は応用問題の扱いにしています。線分図の時に説明しましたが、応用問題では、問題文に直接書かれていない事を図に反映させる必要がありました。面積図でも同様に工夫が必要になります

【問５】（応用：考えるべき数が変わる問題）
１個１００円のリンゴを何個か買う予定で、お金をちょうど持ってでかけましたが、１個８０円だったので予定より２個多く買えて２０円あまりました。持っていったお金は何円ですか？

問５ではどのような工夫をすれば良いでしょうか？

ヒントは「そろえる」です

問５はリンゴを買う数の予定と実際が変わっていますね。このあたりをそろえるにはどうすれば良いでしょうか。。。

(解１：面積図を使った解き方)
まずは問題文に書かれている事を図に書いてみます。「１個１００円のリンゴを何個か買う予定で、お金をちょうど持ってでかけました」を面積図に書きましょう。買う予定のリンゴの数はわからないので☐個とします

次に「１個８０円だったので予定より２個多く買えて２０円あまりました」を図に書き足してみます。ここでよく考えてください。買うリンゴの数を「２個多く」と考えると図を書くのが難しくなってしまいます。このようなときは無理に「２個多く」を図で表現しなくても構いません

どうするかというと、「２個多くかった」を予定とあわせて「☐個買った」にそろえて考えるのです。「２個多くかった」を「☐個買った」にそろえると、２個多く買った分はあまりの金額と考える事ができます。問５の場合、リンゴは１個８０円なので、リンゴを２個買うと１６０円ですね。問題文に記載されている「２０円あまりました」にこの１６０円を加えることで、リンゴを☐個買ったと考えた場合のあまりの金額の金額は１８０円となります

「１個８０円だったので予定より２個多く買えて２０円あまりました」を「１個８０円でリンゴを何個か買うと１８０円あまりました」に置き換えて面積図につけ足してみます

あとは、いつも通りです。最後に１００円と８０円の差は２０円なので差の２０円を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、２０円×☐個＝１８０円となりますので☐＝９個と求まりますね。また、☐＝９個なので持って行った金額は９個×１００円で９００円になります

(解２：考えるべき数が変わる問題)
解１で、「「２個多く」を図で表現しなくても構いません」としましたが、「２個多く」を考えた場合はどのような解き方になるでしょうか？みてみましょう

まずは問題文に書かれている事を図に書いてみます。「１個１００円のリンゴを何個か買う予定で、お金をちょうど持ってでかけました」を面積図に書きましょう

次に「１個８０円だったので予定より２個多く買えてて２０円あまりました」を図に書き足してみます。今、横幅をリンゴの個数としているので、「２個多く」の２個分は横に伸ばして図を書きましょう。そして、「２０円あまりました」もそのままつけ足してみます

この図で「持っていったお金」はどの部分になるでしょうか？

「持っていったお金」は赤枠の部分となります。また、別の見方をすると青枠の部分とも言えます

  

ここで緑枠の部分は、「８０円のリンゴを☐個かった場合の余分なお金」となります。★１に注目すると★１の面積は８０円×２個＋２０円なので１８０円になります。★２の面積も同じなので★２も１８０円ですね
そして、★２に注目すると。。。
２０円×☐個＝１８０円
なので、☐＝９個という事が分かります。よって、持って行った金額は
９個×１００円＝９００円
と求まります

(解３：差に注目した解き方)
差に注目した図（表）を作成して解く方法もありますので紹介しておきます
「１個１００円のリンゴを何個か買う予定で、お金をちょうど持ってでかけました」について買う予定のリンゴの個数を☐とします。１個１００円なので

「１００・・・・・・・・・１００」

と書きましょう。この場合あまりは無いので「０円あまる」と考える事ができます
次に「１個８０円だったので」について☐個買ったとすると

「８０・・・・・・・・・・８０」

と書く事ができます。しかし、「１個８０円」でリンゴを買う場合、「２個多く買えて２０円あまリました」なのでこれをあまりと考えると、あまりは
８０円×２個＋２０円＝１８０円
となります

次に、１個１００円だった場合と１個８０円だった場合の差

「２０・・・・・・・・・・２０」

を書いてみます。また、リンゴを１００円で☐個買った場合のあまりと、リンゴを８０円で☐個かった場合のあまりの差を右側につけ足してみます。この場合は「１８０円」ですね

ここで差の部分に注目します。リンゴを１個買った場合の差が２０円で、この差を☐個分集めると全体で１８０円の差になるので、２０円×☐個＝１８０円となり☐＝９個と求まります。また、持って行った金額は１００円のリンゴを９個買う予定だったので
１００円×９個＝９００円
と求まります

【問６】（応用：配る数がちがう問題）
何人かの子どもにガムを配ります。３人に１０個ずつ、４人に８個ずつ、残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまります。全員に７個ずつ配ると３個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

この問題、わかるでしょうか。「何人かの子どもにガムを配る」というのは問１～問４と同じですが、子供によって配る個数が違います。一見難しく感じるかもしれませんが、ある工夫をすると簡単に解けるのです。ヒントは「そろえる」です

何をそろえるか自分で考えてから以下の説明を読んでください

(解１：面積図を使った解き方)
まず、「３人に１０個ずつ、４人に８個ずつ、残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまり」を「全員に配る数をそろえたらどうなるのだろうか？」と考えてみます。そろえる数は１０個、８個、５個で一番少ない５個にそろえてみるのがよさそうです。全員に配る数を５個ずつとそろえると問題文は以下のように置き換える事ができます
　「３人に１０個ずつ」→「３人に５個ずつ配ると１５個あまる」
　「４人に８個ずつ」→「４人に５個ずつ配ると１２個あまる」
　「残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまる」はそのまま
上記をまとめると
「３人に１０個ずつ、４人に８個ずつ、残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまります」

は以下のように置き換える事ができます。
「全員に５個ずつ配ると３７個あまります」

これを図に書くと

となります。次に、「全員に７個ずつ配ると３個不足します」を書き足してみます

最後に７個と５個の差は２個なので差の２個を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、２個×☐人＝４０個となりますので☐＝２０人と求まりますね。また、☐＝２０人なのでガムの数は２０人×５個＋３７個で１３７個になります

(解２：差に注目した解き方)
差に注目した図（表）を作成して解く場合も同じように考えます
「３人に１０個ずつ、４人に８個ずつ、残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまります」「全員に７個ずつ配ると３個不足します」をそのまま書くとこうなります

ここで上の列に関して「全員に配る数を５個ずつにそろたら何個あまるのだろうか？」と考えてみます。
　「３人に１０個ずつ」→「３人に５個ずつ配ると１５個あまる」
　「４人に８個ずつ」→「４人に５個ずつ配ると１２個あまる」
　「残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまる」はそのまま
上記をまとめると
「３人に１０個ずつ、４人に８個ずつ、残りの子どもには５個ずつ配ると１０個あまります」

は以下のように置き換える事ができます
「全員に５個ずつ配ると３７個あまります」

となります。これを図に書くとこのようになります

１人に配るガムの個数の差は２で、☐人にガムを配ったときの過不足の差は４０なので
２個×☐人＝４０個
となり、
☐＝２０人
となります。これを上の列に当てはめるとガムの数は
２０人×５個＋３７個＝１３７個と求まります

【問７】（応用：配る人数がちがう問題）
何人かの子どもにガムを配ります。１人に１５個ずつ配ると１２個あまります。一方で２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足します。子供の人数とガムの数をもとめましょう。子供の人数とガムの数をもとめましょう。

「何人かの子どもにガムを配る」というのは問１～問４と同じですが、「一方で２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足します」と配る人数を変えた場合の条件が書かれています。一見難しく感じるかもしれませんが、ある工夫をすると簡単に解けるのです。ヒントは「そろえる」です

何をそろえるか自分で考えてから以下の説明を読んでください

(解１：面積図を使った解き方)

まず「１人に１５個ずつ配ると１２個あまります」を図にしてみます

次に、「一方で２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足します」ですが、この条件は「配る人数をそろえた場合どうなるのだろうか？」と考えてみる事にします。つまり、「２倍の人数に９個ずつ配る」のではなく、「同じ人数に１８個ずつ配る」と考えるのです。すると
　「２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足」→「１人に１８個ずつ配ると６個不足」
のように置き換える事ができます。これを図に書きたすと

最後に１８個と１５個の差は３個なので差の３個を図に書き足してみましょう

赤枠で囲った部分に注目すると、３個×☐人＝１８個となりますので☐＝６人と求まりますね。また、☐＝６人なのでガムの数は６人×１８個－６個で１０２個になります

(解２：差に注目した解き方)
差に注目した図（表）を作成して解く場合も同じように考えます
「１人に１５個ずつ配ると１２個あまります」「一方で２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足します」をそのまま書くとこうなります

ここで下の列に関して「配る人数をそろえた場合どうなるのだろうか？」と考えてみます。
　「２倍の人数に９個ずつ配ると６個不足」→「１人に１８個ずつ配ると６個不足」
のように置き換える事ができます。これを図に書きたすと

１人に配るガムの個数の差は３で、☐人にガムを配ったときの過不足の差は１８なので
３個×☐人＝１８個
となり、
☐＝６人
となります。☐＝６人なのでガムの数は６人×１８個－６個で１０２個になります

【問８】（応用：配る物が複数ある問題）
何人かの子どもにアメとガムを配ります。アメはガムの２倍あります。ガムを６個ずつ配ると２個余り、アメを１３個ず配ると３個不足します。子供の人数とアメ、ガムの数をもとめましょう。

この問題は、問１～問４と比べると子どもに配るのはアメだけではなく「アメとガムを配ります」となっています。しかも「アメはガムの２倍あります」という条件もあります。一見難しく感じるかもしれませんが、ある工夫をすると簡単に解けるのです。ヒントは「そろえる」です

この問題は自分で解いてみて下さい。答えだけ教えておきます

 子供の人数：７人

アメの数：４４個

ガムの数：８８個

 頑張って解いてみて下さい。「そろえる」を使えば簡単にとけますよ！

どうでしたでしょうか。まずは基本問題の問１～問４は確実に解けるようにしましょう。また、基本問題が確実にとけるようになったら、問５～問８のような応用問題に取り組んでみましょう

基本問題と解くときのポイントは以下でしたね
1.問題文を、先頭から順に、そのまま図に書く
2.図に書く事で見えてくる事を図に書き足していく
3.いつのまにか問題が解けている

こちらについては「２．事例紹介」でも説明しました。気になる人はもう一度見てみて下さい

また、応用問題を解く場合は問題文をそのまま図に書けないですが、「そろえる」の考え方をすると基本問題に置き換える事ができます

本サイトで何度か話してますが、「○○算だからこう解く」というような勉強はやめましょう。このような勉強方法をすると初めて見る問題に対応できなくなる危険性があります
今回も「この問題は過不足算だからこう解く」「この問題は差集め算だからこう解く」等と考えず、「問題文を、先頭から順に、そのまま図に書く」「図に書く事で見えてくる事を図に書き足していく」を基本として考えていきましょう

頑張っていきましょう！

参考：目次