6-4. つるかめ算

[Rev.0.04 2021/11/20]

こんにちは、kaneQです

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

今回はつるかめ算を学びます

つるかめ算とは、つるとかめの合計頭数とその足の合計数からそれぞれの頭数を求める類の問題のことです

つるかめ算は非常に多くのバリエーションがあります。他の特殊算は図をつかって整理すれば解ける問題がほとんどです。しかしつるかめ算は整理の仕方を知らないと解けない問題が多いです。昔から中学受験の算数の中で重要な単元であり続けているのはそのためだと考えてます

しかし、基礎をしっかり身につけていれば解き方自体は難しくはありません。代表的なバリエーションをしっかり身につければ十分に対応できます

なお、つるかめ算は売買損益算やニューン算等の他の特殊算と組み合わせた問題も数多くみられます。理科でもつるかめ算を用いないと解けない問題が出題される事があります。ただ、他の特殊算と組み合わせたつるかめ算や理科で出題されるつるかめ算は基礎的な知識でとけるものがほとんどです。不意にこれらの問題に遭遇したとしても焦らないで下さい

今回のゴールは以下です
ゴール：つるかめ理論を理解する。ついでに面積図もつかえるようにする

本サイトは「算数は図で考える」を基本としており、本記事でも面積図を使ったつるかめ算の解き方を紹介します。ただ、面積図を使わない「基本的な解き方」も紹介します。つるかめ算は面積図を使わない「基本的な解き方」をまず理解してください。面積図は、おまけくらいに考えてもらった方が良いかもしれません。面積図を使ってつるかめ算を解くためには、面積図を書く前に下準備をしたり、面積図を加工しないと解けない場合が多いです。これらの方法が思い浮かばないと試験中にパニックになるかもしれません。一方で、「基本的な解き方」はほぼ全ての問題に対して、問題をそのまま整理すれば解けます。面積図をうまく書けない場合を想定し、「基本的な解き方」もできるようにして下さい

それでは問題です（以下で、つるは足が２本、カメは足が４本、かぶとむしは足が６本あるものとします）

【問１】
ツルとカメがあわせて９匹います。その足の数の合計は２６本です。このときツルとカメはそれぞれ何匹ですか？

【問２】
１個１００円のみかんと１個１２０円のリンゴと、１個１３０円のなしを合わせて２０個買ったら、代金の合計が２３００円でした。リンゴとなしを同じ数だけ買った時、みかん、リンゴ、なしをそれぞれ何個買ったでしか？

【問３】
ツルとカメとかぶとむしがあわせて３５匹います。足の数の合計は１５２本です。ツルがカメより２匹少ない時、かぶと虫は何匹ですか？

【問４】
ツルとカメとかぶとむしが合わせて３５匹います。足の数の合計は１４６本です。カメはツルの２倍います。カメは何匹ですか？

【問５】
Ａ君とＢ君の２人がじゃんけんをして、勝った方には３点を与え、負けた方からは２点を引き、あいこの場合はそれぞれに１点ずつを与えます。はじめの２人の持ち点はそれぞれ２０点とします。
じゃんけんを１５回したところ、２人の持ち点の合計は６０点でした。このとき、あいこは何回でしたか？

それでは問１からやっていきましょう

【問１】
ツルとカメがあわせて９匹います。その足の数の合計は２６本です。このときツルとカメはそれぞれ何匹ですか？

（解１）つるかめ理論を使う

基本的なつるかめ算の問題です。まずは表を使って力技（ちからわざ）で解いてみます

「ツルとカメがあわせて９匹いる」から全てツルだった場合の足の合計数を表にすると以下のようになります

９匹全てツルだったら、ツルの足は９×２で１８本となります。カメは０匹なのでカメの足は０本です。ツルとカメの足の合計は１８＋０＝１８本となります

次に、ツルを１匹へらし８匹とし、カメを１匹ふやし１匹とすると足の数はどうなるでしょう。表にかきてしてみましょう

ツルが８匹だったら、ツルの足は８×２で１６本となります。カメは１匹なのでカメの足は４×１で４本です。ツルとカメの足の合計は１６＋４＝２０本となります

おなじようにしてツルを１匹ずつへらし、カメを１匹ずつふやして表を書き進めていきます

すると、ツルが５匹、カメが４匹のときに合計の足の数の合計が２６本になりました。足の数の合計が２６本の時のツルとカメの数を求める問題だったので、答えは「ツルが５匹、カメが４匹」となりました

上のやり方は求める足の合計になるまでひたすら表を書いていく事になるので効率的な解き方ではありません。ではどうすれば良いでしょうか？

上の表をよくながめて下さい。何か気付く事が無いでしょうか？

「ツルの数が１へるごとに合計の足の数が２本増えている」または「カメの数が１ふえるごとに合計の足の数が２本増えている」という事が分かります。この事を元に効率的に答えを導いてみましょう

表に書く情報は上の図の内容だけで良いです。全てがツルだった場合とツルを１匹へらした場合の内容をしっかり表に書き込みます。これより「ツルの数が１へるごとに合計の足の数が２本増えている」が明確になります。また、９匹全てがツルだった場合の足の合計は１８本です。ツルとカメの足が２６本になるには２６本と１８本の差である「８本を増やすにはツルが何匹へれば良いのか？」を考えます。これは簡単で

８÷２＝４

でツルが４匹へれば良い事がわかります。全てがツルの場合は９匹なので、４匹へらすと

９－４＝５

となり、ツルは５匹と求める事ができます。カメは

９－５＝４

より、４匹となります

このように、「ツルとカメの合計の頭数とその足の合計数が決まっているときに、それぞれの頭数を１変えた場合の足の合計数の変化量からツルとカメのそれぞれの頭数が明らかになる」という考え方を私はつるかめ理論と呼んでいます。つるかめ理論は初めは表を使って解くのが良いですが、慣れてくると暗算で解けるようになります

（解２）面積図をつかう

次に面積図を用いた解き方を紹介します。この図が何を表しているかわかりますか？

そうです。ツルとカメの足の数を表した面積図です。もう少し情報を書き込んでみましょう

こうするとよくわかると思います。赤枠でかこったところはそれぞれツルの足の数、カメの足の数を表しています。青枠でかこったところはツルとカメの足の数の合計、この問題では２６本となります。あとは単なる図形の問題となります

上のように赤枠でかこった部分と青枠でかこった部分に分けてみます。ツルとカメがそれぞれ何匹いるかわかりませんが合計で９匹なので赤枠でかっこった部分の面積（足の数）は

２×９＝１８本

となります。足の数の合計は２６本なので青枠で囲った部分の面積（足の数）は

２６－１８＝8本

となります。

図に分かる事と分からない事を書き足してみましょう。青枠の縦の幅は

４－２＝２本

という事が分かります。横の幅はわからないので☐と置いてみます。すると図は以下のようになります

青枠で囲った部分の面積（足の数）に注目すると

２×☐＝８

なので、

☐＝４匹

となります。☐はカメの匹数なのでカメは４匹となります。ツルとカメの合計は９匹なのでツルは

９－４＝５

より５匹と求まります

【問２】
１個１００円のみかんと１個１２０円のリンゴと、１個１３０円のなしを合わせて２０個買ったら、代金の合計が２３００円でした。リンゴとなしを同じ数だけ買った時、みかん、リンゴ、なしをそれぞれ何個買ったでしか？

（解１）つるかめ理論を使う

まずは表を使った解き方です。今回は３つの品物について考える必要がありますが難しく考える必要はありません。そのまま３つの品物について表に整理すれば良いだけです

まず２０個全てみかんだった場合の表を書きましょう

次にみかんが１９個の場合を考えたいところですが、、、問題文に「リンゴとなしを同じ数だけ買った時」の条件があるのでみかんが１９個というのはありえません。みかんは１８個、１６個と２個ずつ減らしていく事に注意しましょう

表は以下のようになります

問題で与えられている代金の合計は２３００円です。２０個全てみかんの場合の代金の合計は２０００円なので、合計の代金の差は

２３００－２０００＝３００円

となります。一方で、みかんを２個へらした場合つまりリンゴを１個ふやした場合の代金の合計は２０５０円なので、リンゴが０個の場合と比べると

２０５０－２０００＝５０円

となり合計の代金が５０円増える事がわかります。合計の代金を３００円増やすには

３００÷５０＝６

となり、リンゴを６個にすれば良い事が分かります。リンゴとなしは同じ数なのでなしも６個となります。全部で２０個なのでみかんは

２０－６－６＝８

より８個となります。答えは「みかんは８個、リンゴは６個、なしは６個」です

次に面積図を用いた解き方を紹介します

今回のように３つの品物を扱う場合３段つるかめといってこのままでは面積図では解けません。このような場合は基本的なつるかめ算のように２段つるかめに持ち込む必要があります。これは知らなければ解けないテクニックとなります。「図で考えればいつのまにか解ける」という私のポリシーに反しますが、面積図を使いたい人はぜひ覚えて下さい

（解２－１）面積図をつかう（足切りをして２段つるかめにする）

１つ目の方法は「足切をして２段つるかめに持ち込む」です。まず問題文をそのまま図にしてみます。「リンゴとなしは同じ数」という条件ですが、具体的な数が分からないので①と置いてみましょう

このままだと解けません。どうすれば良いでしょうか？

赤枠でかこった部分を図から除いてみるとどうなるでしょうか

赤枠でかこった部分をずから除くと上図の青枠でかこった部分が残ります。少し整理すると以下のようになります

残った図から

㊿＝３００円

という事がわかります。つまり

①＝６

となり、リンゴとなしはそれぞれ６個ともとまりました。全部で２０個なのでみかんは

２０－６－６＝８

より８個となります。答えは「みかんは８個、リンゴは６個、なしは６個」です

（解２－２）面積図をつかう（平均を使い２段つるかめにする）

２つ目の方法は「平均を使い２段つるかめに持ち込む」です。まず問題文をそのまま図にしてみます。「リンゴとなしは同じ数」という条件ですが、具体的な数が分からないので①と置いてみましょう

このままだと解けません。どうすれば良いでしょうか？リンゴとなしの数が同じなのでこれらを平均をとってまとめる事を考えます

リンゴが１２０円、なしが１３０円なので平均は１２５円です。これでいったん図を整理すると以下のようになります

ここで図を以下のように赤枠でかこった部分と青枠でかこった部分に分けて考えます

すると、青枠でかこった部分は縦の幅が２５円で横の幅が②なので面積は㊿となります。この代金は

２３００－２０００＝３００円

なので

㊿＝３００円

となり

①＝６個

となり、リンゴとなしはそれぞれ６個と求まりました。全部で２０個なのでみかんは

２０－６－６＝８

より８個となります。答えは「みかんは８個、リンゴは６個、なしは６個」です

【問３】
ツルとカメとかぶとむしがあわせて３５匹います。足の数の合計は１５２本です。ツルがカメより２匹少ない時、かぶと虫は何匹ですか？

（解１）つるかめ理論を使う

まずは表を使った解き方です。この問題も３つの対象について考える必要がありますが難しく考える必要はありません。そのまま３つの対象について表に整理すれば良いだけです

「ツルがカメより２少ない」とあるので「ツルが０匹、カメが２匹」の場合を考えて、次にそれぞれ１匹足した「ツルが１匹、カメが３匹」を考えて整理するのが良さそうです。表は以下のようになります

問題で与えられている足の数の合計は１５２本です。かぶとむしが３３匹の場合の足の数の合計は２０６本なので、足の数の合計の差は

２０６－１５２＝５４本

となります。一方で、かぶとむしを２匹へらした場合の足の数の合計は２００本なので、かぶとむしが３３匹の場合と比べると

２０６－２００＝６本

となり足の数の合計が６本へる事がわかります。足の数の合計を５４本へらすには

５４÷６＝９

となり、かぶとむしを９回減らせばよい事がわかります。１回につきかぶとむしは２匹へらすので、

２×９＝１８

となり、かぶとむしは1８匹へらせば良い事がわかります。つまり

３３－１８＝１５

となり、かぶとむしは１５匹と求まります

次に面積図を用いた解き方を紹介します。今回も２段つるかめに持ち込んで解いていきます

（解２－１）面積図をつかう（図をよく見て２段つるかめを発見する）

問２では「足切をして２段つるかめに持ち込む」を使いましたが問３は同じようにできるでしょうか。ちょっと考えてみて下さい。おそらく同じような解き方はできないと思います

ここでは、「図をよく見て２段つるかめを発見する」を紹介します。まず問題文をそのまま図にしてみます。「ツルがカメより２少ない」という条件ですが、具体的な数が分からないのでカメを①匹、ツルを①－２匹と置いてみましょう

この状態だとよくわかりません。ツルの①ー２匹をシンプルにしたいです。どうすればよいでしょうか

簡単です。ツルを２匹足してあげれば良いのです。ツルを２匹足すと合計は

３５＋２＝３７

で３７匹になります。足の数の合計は

１５２＋２×２＝１５６

で１５６本になります。図を書き換えると以下のようになります

だいぶすっきりしました。ここからどのようにして２段つるかめに持ち込めるでしょうか。慣れると簡単です。図をよく見て下さい

以下のように赤枠でかこった部分に気づけるでしょうか。青枠でかこった部分からもとの３段つるかめの部分を引くと赤枠でかこった部分を切り出す事ができ、２段つるかめに持ち込むことができるのです

図において、青枠でかこった部分の足の数の合計は

３７×６＝２２２本

となります。またもとの３段つるかめの部分の足の数の合計は１５６本でした。よって、赤枠でかこった部分の足の数の合計は

２２２－１５６＝６６本

となります。一方で、赤枠でかこった部分の面積は

④＋②＝⑥

と表す事ができますね。つまり

⑥＝６６

となり

①＝１１

が導けます。①は図におけるツルとカメそれぞれの頭数です。よってかぶとむしは全体の頭数である３７匹からツルとカメの頭数を引けばよいので

３７－１１－１１＝１５匹

となりかぶとむしは１５匹と求まります

（解２－２）面積図をつかう（平均を使い２段つるかめにする）

問２と同様に「平均を使い２段つるかめに持ち込む」も使う事ができます。まず問題文をそのまま図にしてみます。「ツルがカメより２少ない」という条件ですが、具体的な数が分からないのでカメを①匹、ツルを①－２匹と置いてみましょう

この状態だとよくわかりません。ツルの①ー２匹をシンプルにしたいです。どうすればよいでしょうか

簡単です。ツルを２匹足してあげれば良いのです。ツルを２匹足すと合計は

３５＋２＝３７

で３７匹になります。足の数の合計は

１５２＋２×２＝１５６

で１５６本になります。図を書き換えると以下のようになります

ここまでは、（解２－１）と同じです

このままだと解けません。どうすれば良いでしょうか？ツルとカメの数が同じなのでこれらを平均をとってまとめる事を考えます

ツルの足は２本、カメの足は４本で頭数は①で同じなので平均は３本です。これでいったん図を整理すると以下のようになります

ここで図を以下のように赤枠でかこった部分と青枠でかこった部分に分けて考えます

すると、赤枠でかこった部分は縦の幅が３本で横の幅が３７匹なので足の数の合計は

３×３７＝１１１

となり１１１本です。青枠で囲った部分は全体の１５６本から赤枠で囲った部分を引けばよいので

１５６－１１１＝４５

となり４５本です。青枠で囲った部分の縦の幅は３本で横の幅を☐匹とすると

３×☐＝４５

なので

☐＝１５

となり、かぶとむしは１５匹と求まります

【問４】
ツルとカメとかぶとむしが合わせて３５匹います。足の数の合計は１４６本です。カメはツルの２倍います。カメは何匹ですか？

（解１）つるかめ理論を使う

まずは表を使った解き方です。この問題も３つの対象について考える必要がありますが難しく考える必要はありません。そのまま３つの対象について表に整理すれば良いだけです

「カメはツルの２倍います」とあるので「ツルが１匹、カメが２匹」の場合を考えて、次に「ツルが２匹、カメが４匹」とツルとカメを増やして整理するのが良さそうです。表は以下のようになります

問題で与えられている足の数の合計は１４６本です。カメが２匹の場合の足の数の合計は２０２本なので、足の数の合計の差は

２０２－１４６＝５６本

となります。一方で、カメを２匹ふやした場合の足の数の合計は１９４本なので、カメが２匹の場合と比べると

２０２－１９４＝８本

となり足の数の合計が６本へる事がわかります。足の数の合計を５６本へらすには

５６÷８＝７

となり、カメを７回増やせばよい事がわかります。１回につきカメは２匹増えるので、

２×７＝１４

となり、カメは１４匹増やせば良い事がわかります。つまり

２＋１４＝１６

となり、カメは１６匹と求まります

（解２－１）面積図をつかう（図をよく見て２段つるかめを発見する）

「図をよく見て２段つるかめを発見する」で解いてみましょう。まず問題文をそのまま図にしてみます。「カメはツルの２倍います」という条件ですが、具体的な数が分からないのでツルを①匹、カメを②匹と置いてみましょう

ここからどのようにして２段つるかめに持ち込めるでしょうか。図をよく見て下さい

以下のように赤枠でかこった部分に気づけるでしょうか。青枠でかこった部分からもとの３段つるかめの部分を引くと赤枠でかこった部分を切り出す事ができ、２段つるかめに持ち込むことができるのです

図において、青枠でかこった部分の足の数の合計は

３５×６＝２１０本

となります。またもとの３段つるかめの部分の足の数の合計は１４６本でした。よって、赤枠でかこった部分の足の数の合計は

２１０－１４６＝６４本

となります。一方で、赤枠でかこった部分の面積は

④＋④＝⑧

と表す事ができますね。つまり

⑧＝６４

となり

①＝８

となります。求めたいのはカメの数です。カメの数は②なので

②＝①×２＝８×２＝１６

となりカメは１６匹と求まります

（解２－２）面積図をつかう（平均を使い２段つるかめにする）

平均を使って２段つるかめに持ち込む方法は図とメモだけ示しておきます。自力で解いてください

【問５】
Ａ君とＢ君の２人がじゃんけんをして、勝った方には３点を与え、負けた方からは２点を引き、あいこの場合はそれぞれに１点ずつを与えます。はじめの２人の持ち点はそれぞれ２０点とします。
じゃんけんを１５回したところ、２人の持ち点の合計は６０点でした。このとき、あいこは何回でしたか？

問５は「基本的な解き方」でまず解いてみましょう。少し複雑な表になりますがひねりはないです。面積図を使う場合には、問題の本質をとらえた面積図が書ければ瞬殺です

まず問題を整理します。はじめの２人の持ち点はそれぞれ２０点なので合計で４０点です。じゃんけんを１５回して２人の持ち点の合計が６０点になるという事は、合計が２０点増えれば良いという事になります

（解１）つるかめ理論を使う

表を使った解き方です。といっても　どのような表にして良いのかよくわかりません。上に書きましたが「合計で２０点増える」という事は意識するようにしましょう。その上で、全てのパターンで合計点がどう変わるのかをまず見てみます。「A君が勝った場合」「B君が勝った場合」「引分けの場合」の３パターンです

はじめは、A君が２０点、B君が２０点持っているので合計４０点ですね

• 「A君が勝った場合」
  A君は３点増えるので２３点になります。B君は２点減るので１８点になります。合計は４１点となります
• 「B君が勝った場合」
  A君は２点減るので１８点になります。B君は３点増えるので２３点になります。合計は４１点となります

A君が勝ってもB君が勝ってもどちらの場合も合計は４１点で同じです。つまり勝敗が付く場合はどちらが勝っても合計は１点増える事になります

• 「引分けの場合」
  A君は１点増えるので２１点になります。B君は１点増えるので２１点になります。合計は４２点となります

引き分けの場合には合計は２点増える事がわかりました

ここからが本番です。上で整理した「引き分け」と「勝敗がつく」で整理するのが良さそうです。１５回全て引き分けた場合、１４回引き分けた場合と順に考えていくと表は以下のようになります

引き分けが１５回の場合、１５回じゃんけんをすると合計は３０点増えます。引き分けが１４回の場合は２０点増えます

では、合計が２０点増えるためには引き分けは何回であればよいでしょうか？

３０点と２０点の差は１０点で、引き分けが１回減ると点数の合計は１点減るので１０点減るためには引き分けの回数が１０回減ればい事になります。つまり、引き分けの回数は

１５－１０＝５

となり５回と求める事ができました

この問題は初めて見て解くのは非常に難しいと思いますが、順に整理するように心がけて下さい。ポイントは以下です

• 勝敗でポイントを加算する類の問題は「勝敗がつく場合」「引き分けの場合」の２種類で分類する
• どちらが勝とうが「勝敗がつく場合」の点数の変化は同じ

（解２）面積図をつかう

面積図を使う場合も、いったんは解１と同じように整理し以下を把握しておきます

• １５回のじゃんけんで合計は２０点増える
• 勝敗がつく場合はどちらが勝っても合計は１点増える
• 引き分けの場合には合計は２点増える

これを面積図であらわすと以下のようになります

あとはわかりますね？

１５回全て勝敗がついた場合は

１×１５=１５

で合計は１５点増えます(図の赤枠)。１５回じゃんけんして２０点増えるので図の青枠部分の５点足りていません。この５点を増やすためには引き分けは☐回とすると

☐＝５÷１＝５

となり引き分けは５回と求める事ができました

それでは頑張りましょう

参考：目次

6-3. ニュートン算(面積図)

[Rev.0.02 2021/5/3]

こんにちは、kaneQです

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

本記事では、「ニュートン算」を紹介します

今回のゴールは以下です

ゴール：「ニュートン算」を面積図で解けるようにする

(「ニュートン算」を線分図で解く方法はこちらをご参照ください)

必要な知識：面積図の基本

ニュートン算は、仕事算の一種です。典型的な仕事算と違うのは、仕事を処理している一方で一定の割合で仕事が増えていくという点です
中学受験算数の特殊算の中でニュートン算は難易度が高いと言われていますが、「算数は図で考える」を身につければ非常に簡単に解く事ができます。恐れずに頑張りましょう

本記事では以下６つの問題を紹介します。問１から問４は基本的な問題なので実際の入試には出ないと思います。ですが、面積図に慣れるためにしっかりと理解してください。問７は難易度があがりますが、中学受験で非常に多く出題される典型的なレベルなので確実に解けるようにしておきましょう

【問１】基本：水そうが空になるまでの時間が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、何分後に水そうは空になるでしょう

【問２】基本：一定時間でこなす仕事量（ポンプがくみ出す水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
ポンプは毎分何Ｌの水をくみ出すでしょう

【問３】基本：一定時間で増える仕事量（じゃ口から入る水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
水道のじゃ口は毎分何Ｌの水を入れるでしょう

【問４】基本：元の仕事量（水そうに入っている水の量）が分からない
水そうに水が何Ｌか入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
はじめに水そうに入っていた水は何Ｌでしょう

【問５】標準
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうはからになります
ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

【問６】
太朗君は今いくらかのお金を持っています。毎月決まった額のおこづかいをもらいます。１か月に1000円ずつ使うと3か月でなくなってしまいます。しかし、１か月に800円ずつ使うと5か月でなくなるといいます。太朗君が今持っているお金はいくらでしょうか。

【問７】標準
何Ｌかの水が入っている水そうと６台の同じポンプがあります。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります。６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります。
５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

それでは順番に解いてみます

今までも取り組んできましたが、わからない量は①等と置き換えて面積図を書いていく事がポイントになります

【問１】基本：水そうが空になるまでの時間が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、何分後に水そうは空になるでしょう

まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」を図に書き足します。ここで、「何分後に水そうは空になる」とありますが、何分かわからないので、水そうが空になるまでの時間を①分と置いてみます

「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」は「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を①分間入れる」に置き換えます

このように、はじめに入っていた水の量と①分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を①分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

もともと水そうに入っていた２４０Ｌは⑧Ｌに相当する事が分かりました。したがって

①＝３０

となります。①は水そうが空になるまでの時間だったので答えは３０分と求める事ができました

【問２】基本：一定時間でこなす仕事量（ポンプがくみ出す水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
ポンプは毎分何Ｌの水をくみ出すでしょう

まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」「３０分」を図に書き足します

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分何Ｌかの水を３０分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量が分からないので①と置いて、図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

ポンプでくみ出す水の量㉚は３６０Ｌである事が分かりました。したがって

①＝１２

となります。①は１台のポンプが毎分くみ出す水の量だったので答えは１２Ｌと求める事ができました

【問３】基本：一定時間で増える仕事量（じゃ口から入る水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
水道のじゃ口は毎分何Ｌの水を入れるでしょう

 まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を３０分間入れる」を図に書き足します。水道のじゃ口から毎分入る水の量が分からないので①と置いてみます

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を３０分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

水道のじゃ口から入る水の量㉚Lは１２０Ｌである事が分かりました。したがって

①＝４

となります。①は水道のじゃ口から毎分入る水の量だったので答えは４Ｌと求める事ができました

【問４】基本：元の仕事量（水そうに入っている水の量）が分からない
水そうに水が何Ｌか入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
はじめに水そうに入っていた水は何Ｌでしょう

  まず、「水そうに水が何Ｌか入っています」を面積図であらわしてみます。水そうに入っている水の量が分からないので①と置いておきます

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を３０分間入れる」を図に書き足します

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を３０分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

水そうに入っている水の量は①でした。図より①は２４０Ｌと求める事ができました

【問５】標準
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうはからになります
ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

この問題、解けるでしょうか？

「標準」としていますが、難易度は低いです。ただ、このままだとどのように解いて良いか迷う人も多いと思います。そこで、以下のように問題をばらしてみましょう

(１)１台のポンプが毎分くみ出す水の量は何Ｌでしょう

(２) ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

どうでしょうか。何か気付いたでしょうか。そうです（１）は前述の問２と全く同じです。まず、問２の考え方を使って１台のポンプがくみ出す水の量を求め、ポンプが２台だったらどうなるかを考えていきます

それでは順に解いてみます

(１)１台のポンプが毎分くみ出す水の量は何Ｌでしょう（問２と同じです）

 まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」「３０分」を図に書き足します

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分何Ｌかの水を３０分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量が分からないので①と置いて、図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

ポンプでくみ出す水の量㉚は３６０Ｌである事が分かりました。したがって

①＝１２

となります。①は１台のポンプが毎分くみ出す水の量だったので答えは１２Ｌと求める事ができました

(２) ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

（１）で書いた図とは別に図を書きましょう。まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」を図に書き足します。ここで、「何分後に水そうは空になる」とありますが、何分かわからないの、水そうが空になるまでの時間を①分と置いてみます

「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」は「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を①分間入れる」に置き換えます

このように、はじめに入っていた水の量と①分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「２台のポンプで水を①分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量は（１）より１２Ｌと求めたので図は以下のようになります

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

初めに水そうに入っていた水の量は２４０Ｌでこれが⑳に相当するので

①＝１２

となります。①は水そうが空になるまでの時間だったので１２分と求まりました

【問６】
太朗君は今いくらかのお金を持っています。毎月決まった額のおこづかいをもらいます。１か月に1000円ずつ使うと3か月でなくなってしまいます。しかし、１か月に800円ずつ使うと5か月でなくなるといいます。太朗君が今持っているお金はいくらでしょうか。

この問題は、「事例紹介」で詳しく説明してますのでそちらをご参照くださいませ
   

【問７】標準
何Ｌかの水が入っている水そうと６台の同じポンプがあります。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります。６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります。
５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

この問題は、初めに水そうに入っている水の量、ポンプが毎分くみ出す水の量、水道のじゃ口から毎分入る水の量の全てがわかりません。そのかわり、４台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間、６台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間が与えられています。これらを整理する事で５台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間を求める事ができるのです。これも１つ１つ整理して図を書いていく事で解く事ができます。説明が長くなりますが、じっくりと理解して自分のものにしてください

まず最初に最終図面を紹介しておきます。結構複雑な図になってますがビビらないで下さいね

 

複雑な図ですが、１つ１つの図は難しくありません。１つ１つ図を書いていきましょう

「何Ｌかの水が入っている水そう」「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら」「４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります」を図にしたいと思います。ここで、初めに水そうに入っている水の量はわからないので☐としておきます。また、水道のじゃ口から毎分入る水の量を

とします。また、１台のポンプが毎分くみ出す水の量を

とします。すると図は以下のようになります

「何Ｌかの水が入っている水そう」「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら」「６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります」。先ほどの図の下に別の図として書きたしてみましょう

何か気付く事があるでしょうか

 左の図と右の図で赤枠で囲った部分の面積の差は、青枠で囲った面積の差だという事に気づけたでしょうか？これより、

という関係が見えてきました！これより、

☐＝①×２４＝㉔Ｌ

も導けると思います

ここまで来てようやく問題を解く準備ができました。「５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう」を考えてみます。ここで、水そうが空になるまでの時間が分からないので

と置いてみます。図は以下のようになります

上の図からわかるように

を導く事ができました

は５台のポンプを使た時の水そうが空になるまでの時間でしたので答えは１２分と求まりました

今まで書いた図をならべると以下のようになります

この図を一人でもかけるように何度も繰り返し練習してください

以上でニュートン算の標準レベルまでの説明を終わります。標準レベルの問題が完全に理解できると、応用問題も解けるようになります。応用問題としては、つるかめ算と組み合わせたり、初めの条件が変わった場合どうなるかを考えさせられる問題がありますが難問はありません。しつこいですが、本記事の問７を確実に解けるよう何度も練習してみて下さい

それでは頑張りましょう！

参考：目次

4-5. ニュートン算(線分図)

[Rev.0.03 2021/5/3]

こんにちは、kaneQです

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

本記事では、「ニュートン算」を紹介します

今回のゴールは以下です

ゴール：「ニュートン算」を線分図で解けるようにする

(「ニュートン算」を面積図で解く方法はこちらをご参照ください)

必要な知識：線分図の基本

ニュートン算は、仕事算の一種です。典型的な仕事算と違うのは、仕事を処理している一方で一定の割合で仕事が増えていくという点です
中学受験算数の特殊算の中でニュートン算は難易度が高いと言われていますが、「算数は図で考える」を身につければ非常に簡単に解く事ができます。恐れずに頑張りましょう

本記事では以下６つの問題を紹介します。問１から問４は基本的な問題なので実際の入試には出ないと思います。ですが、線分図に慣れるためにしっかりと理解してください。問７は難易度があがりますが、中学受験で非常に多く出題される典型的なレベルなので確実に解けるようにしておきましょう

【問１】基本：水そうが空になるまでの時間が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、何分後に水そうは空になるでしょう

【問２】基本：一定時間でこなす仕事量（ポンプがくみ出す水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
ポンプは毎分何Ｌの水をくみ出すでしょう

【問３】基本：一定時間で増える仕事量（じゃ口から入る水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
水道のじゃ口は毎分何Ｌの水を入れるでしょう

【問４】基本：元の仕事量（水そうに入っている水の量）が分からない
水そうに水が何Ｌか入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
はじめに水そうに入っていた水は何Ｌでしょう

【問５】標準
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうはからになります
ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

【問６】標準
太朗君は今いくらかのお金を持っています。毎月決まった額のおこづかいをもらいます。１か月に1000円ずつ使うと3か月でなくなってしまいます。しかし、１か月に800円ずつ使うと5か月でなくなるといいます。太朗君が今持っているお金はいくらでしょうか。
 

【問７】標準
何Ｌかの水が入っている水そうと６台の同じポンプがあります。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります。６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります。
５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

それでは順番に解いてみます

今までも取り組んできましたが、わからない量は①等と置き換えて線分図を書いていく事がポイントになります

【問１】基本：水そうが空になるまでの時間が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、何分後に水そうは空になるでしょう

まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま線分図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」を図に書き足します。ここで、「何分後に水そうは空になる」とありますが、何分かわからないので、水そうが空になるまでの時間を①分と置いてみます

「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」は「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を①分間入れる」に置き換えます

このように、はじめに入っていた水の量と①分間に水道のじゃ口から入れた水の量を線分図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を①分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

もともと水そうに入っていた２４０Ｌは⑧Ｌに相当する事が分かりました。したがって

①＝３０

となります。①は水そうが空になるまでの時間だったので答えは３０分と求める事ができました

【問２】基本：一定時間でこなす仕事量（ポンプがくみ出す水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
ポンプは毎分何Ｌの水をくみ出すでしょう

まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま線分図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」「３０分」を図に書き足します

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を線分図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分何Ｌかの水を３０分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量が分からないので①と置いて、図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

ポンプでくみ出す水の量㉚は３６０Ｌである事が分かりました。したがって

①＝１２

となります。①は１台のポンプが毎分くみ出す水の量だったので答えは１２Ｌと求める事ができました

【問３】基本：一定時間で増える仕事量（じゃ口から入る水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
水道のじゃ口は毎分何Ｌの水を入れるでしょう

 まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま線分図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を３０分間入れる」を図に書き足します。水道のじゃ口から毎分入る水の量が分からないので①と置いてみます

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を線分図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を３０分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

水道のじゃ口から入る水の量㉚Lは１２０Ｌである事が分かりました。したがって

①＝４

となります。①は水道のじゃ口から毎分入る水の量だったので答えは４Ｌと求める事ができました

【問４】基本：元の仕事量（水そうに入っている水の量）が分からない
水そうに水が何Ｌか入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
はじめに水そうに入っていた水は何Ｌでしょう

  まず、「水そうに水が何Ｌか入っています」を線分図であらわしてみます。水そうに入っている水の量が分からないので①と置いておきます

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を３０分間入れる」を図に書き足します

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を線分図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を３０分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

水そうに入っている水の量は①でした。図より①は２４０Ｌと求める事ができました

【問５】標準
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうはからになります
ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

この問題、解けるでしょうか？

「標準」としていますが、難易度は低いです。ただ、このままだとどのように解いて良いか迷う人も多いと思います。そこで、以下のように問題をばらしてみましょう

(１)１台のポンプが毎分くみ出す水の量は何Ｌでしょう

(２) ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

どうでしょうか。何か気付いたでしょうか。そうです（１）は前述の問２と全く同じです。まず、問２の考え方を使って１台のポンプがくみ出す水の量を求め、ポンプが２台だったらどうなるかを考えていきます

それでは順に解いてみます

(１)１台のポンプが毎分くみ出す水の量は何Ｌでしょう（問２と同じです）

まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま線分図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」「３０分」を図に書き足します

このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を線分図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「１台のポンプで毎分何Ｌかの水を３０分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量が分からないので①と置いて、図に書き足してみましょう

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

ポンプでくみ出す水の量㉚は３６０Ｌである事が分かりました。したがって

①＝１２

となります。①は１台のポンプが毎分くみ出す水の量だったので答えは１２Ｌと求める事ができました

(２) ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

（１）で書いた図とは別に図を書きましょう。まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま線分図であらわしてみます

これは初めに入っていた水の量ですね

次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」を図に書き足します。ここで、「何分後に水そうは空になる」とありますが、何分かわからないの、水そうが空になるまでの時間を①分と置いてみます

「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」は「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を①分間入れる」に置き換えます

このように、はじめに入っていた水の量と①分間に水道のじゃ口から入れた水の量を線分図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？

そうです「２台のポンプで水を①分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量は（１）より１２Ｌと求めたので図は以下のようになります

ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します

初めに水そうに入っていた水の量は２４０Ｌでこれが⑳に相当するので

①＝１２

となります。①は水そうが空になるまでの時間だったので１２分と求まりました

【問６】標準
太朗君は今いくらかのお金を持っています。毎月決まった額のおこづかいをもらいます。１か月に1000円ずつ使うと3か月でなくなってしまいます。しかし、１か月に800円ずつ使うと5か月でなくなるといいます。太朗君が今持っているお金はいくらでしょうか。

この問題は、「事例紹介」で詳しく説明してますのでそちらをご参照くださいませ
 

【問７】標準
何Ｌかの水が入っている水そうと６台の同じポンプがあります。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります。６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります。
５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう

この問題は、初めに水そうに入っている水の量、ポンプが毎分くみ出す水の量、水道のじゃ口から毎分入る水の量の全てがわかりません。そのかわり、４台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間、６台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間が与えられています。これらを整理する事で５台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間を求める事ができるのです。これも１つ１つ整理して図を書いていく事で解く事ができます。説明が長くなりますが、じっくりと理解して自分のものにしてください

まず最初に最終図面を紹介しておきます。結構複雑な図になってますがビビらないで下さいね

 

複雑な図ですが、１つ１つの図は難しくありません。１つ１つ図を書いていきましょう

「何Ｌかの水が入っている水そう」「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら」「４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります」を図にしたいと思います。ここで、初めに水そうに入っている水の量はわからないので☐としておきます。また、水道のじゃ口から毎分入る水の量を

とします。また、１台のポンプが毎分くみ出す水の量を

とします。すると図は以下のようになります

「何Ｌかの水が入っている水そう」「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら」「６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります」。先ほどの図の下に別の図として書きたしてみましょう

この２本の線分図をよく見て下さい。気付いた事をどんどん書き足していきます。線分図の基本で説明しましたが、線分図ではそろえた方と逆側で差を考える事が基本でしたね。この問題も例外ではありません

 するとどうでしょう。

と

の関係が見えてきませんか？

そうですね

 

という関係が見えてきました！これより、

も導けると思います。ここまで来ると☐Ｌも〇で表せますね。図は以下のようになります

ここまで来てようやく問題を解く準備ができました。「５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう」を考えてみます。ここで、水そうが空になるまでの時間が分からないので

と置いてみます。図は以下のようになります

上の図からわかるように

を導く事ができました

は５台のポンプを使た時の水そうが空になるまでの時間でしたので答えは１２分と求まりました

今まで書いた図をならべると以下のようになります

この図を一人でもかけるように何度も繰り返し練習してください

以上でニュートン算の標準レベルまでの説明を終わります。標準レベルの問題が完全に理解できると、応用問題も解けるようになります。応用問題としては、つるかめ算と組み合わせたり、初めの条件が変わった場合どうなるかを考えさせられる問題がありますが難問はありません。しつこいですが、本記事の問６を確実に解けるよう何度も練習してみて下さい

それでは頑張りましょう！

参考：目次

4-4. 売買損益算

こんにちは、kaneQです

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

本記事では、「売買損益算」を紹介します

今回のゴールは以下です

ゴール：線分図を使用した比の活用法をマスターする

必要な知識：売買の仕組み、倍数計算、比の概念

売買損益算とは、品物を売買するときの利益や損失から原価、定価等を求める問題です
この売買損益算ですが、苦手とする人が意外と多いように思います。なぜだかわかるでしょうか？

売買損益算は、基本的な問題でもほぼ例外なく比や割合を駆使する事になります。よって、基本的な問題でも難易度が高めになるのです
売買損益算は、線分図を使って解くと考えてもらっても良いです。売買損益算をマスターすると線分図の理解がほぼ完成します
少し難しいなと感じる人も、本記事の内容を頑張って理解してみて下さい

まず、基本的な考え方のおさらいです

仕入れ値（原価）、見込みの利益、定価、利益、定価、売り値、値引きを図にするとこのようになります

仕入れ値（原価）：品物を仕入れるときの値段
利益：もうけの事。売った値段から仕入れ値を引いた金額
定価：品物を売る値段
売り値：品物を実際に売る値段。定価に対して値引きを考慮した金額

この図は１個当たりの金額を表現する場合に使われることが多いです

例：仕入れ値５０円のリンゴを５０円の利益を見込んで定価を決めました。このリンゴを１０円値引きして売ると利益はいくらになりますか？

この例を図に書く事が出来ますか。売買損益算ではこのような問題文から図を書く事が必要になります

ここでは２本の線分図で書きましたが、１本の線分図で書く事もできます。参考に紹介すると以下のようになります

これらの図が理解できない場合は、自分のテキストで売買損益の仕組みを理解してください

次に、売り上げ高はこのような図で説明できます。売り上げ高は、多くの場合は合計の個数について表現します

例：１個５０円のリンゴを１００個仕入れました。仕入れたリンゴのうち１０個は腐っていたので捨てました。残りの９０個のリンゴを全て売ったら売り上げ高は８１００円でした。利益はいくらですか？

これらの図は意味を正しく理解し、問題文から正しい図が書けるようにしておきましょう

本記事では以下の問題を解いてみましょう
問８以外は全て「基本」と考えて下さい。前述のとおり、「基本」ではありますが難易度は高めです。でも、大丈夫です。本サイトの「算数は図で考える」をマスターすれば必ず解けるようになります！

【問１】(入門：値引き率から定価を求める)
あるプラモデルを定価の２割引きで売ったところ、売り値は１６００円になりました。定価は何円ですか？

【問２】(入門：利益率から仕入れ値を求める)
あるプラモデルを売ると６０円の利益がありました。この利益は仕入れ値の２０％にあたります。仕入れ値はいくらですか？

【問３】(基本：利益率から仕入れ値を求める)
あるプラモデルを仕入れ値の３割の利益を見込んで定価をつけました。このプラモデルを定価の２割引きで売ると、利益は４０円でした。このプラモデルの仕入れ値はいくらですか？

【問４】(入門：売り上げ高を求めてから定価を求める)
リンゴを７０円で３００個仕入れましたが、そのうちの２５個は傷んでいたので売るのをやめました。傷んでいないものは全て売って、全体で１割の利益があるように定価をつけると、１個何円になるでしょう

【問５】(基本：値引き率と利益の差から定価を求める)
ある品物を定価の２割引きで売ると４０円もうかり、２割５分引きで売ると２０円もうかります。
（１）この品物の定価は何円ですか？
（２）この品物の仕入れ値は何円ですか？

【問６】(基本：割合だけで考える)
ある品物に仕入れ値の何割かの利益を見込んで定価をつけたところ、定価の２割引きで売っても、まだ仕入れ値の１割２分の利益がありました。定価を決める際、仕入れ値の何割の利益を見込んだでしょうか？

【問７】(基本：１個あたりの定価を①と置いて整理する)
仕入れ値が１個３３０円の品物を１００個仕入れて、仕入れ値の何割か増しの定価をつけました。この品物を、１０個を定価の３割引きで、３０個を定価の２割引きで、残りを定価のままで全部売ったら３４００円の利益になりました。定価はいくらですか？

【問８】(応用：つるかめ算を利用して解く)
なし５００個を、仕入れ値の２割の利益を見込んで定価をつけて売りました。何個か売れ残ったので、残ったなしを５円引きで売ったら、全部売れて、利益は４０００円になりました。これは初めに見込んだ利益の８割に相当します。

(１)なし１個の仕入れ値は何円ですか
(２)値引きして売ったなしは何個ですか？

【問９】(基本：とにかく整理する)
原価の２割５分の利益を見込んで定価をつけたある商品が、全部で１００個あります。これらの商品を、３日間のお祭りの期間中に売る事にしました。
１日目：定価で３０個売れました
２日目：１個につき定価から６０円引いて５０個売れました
３日目：残りの２０個を定価の１割引きで売りに出したところ全て売れ利益は３日間であわせて１９５００円になりました。
（１）３日目の売値は原価の何倍ですか？
（２）原価はいくらですか？

それでは順番に解いてみましょう

【問１】(入門：値引き率から定価を求める)
あるプラモデルを定価の２割引きで売ったところ、売り値は１６００円になりました。定価は何円ですか？

いつものとおり、問題文をそのまま図に書いていきます

「定価の２割引き」は

で表現しましょう。２割をこのように表現するので定価は①となります。すると「定価の２割引きで売ったところ、売り値は１６００円」はこのようになります

難しく考えないでください。問題文をそのまま図に書いているだけです

さあ、この図をながめて分かる事を書き足してみます

売り値の１６００円は定価に対して８割である事に気づくと思います。この事から

となります。よって、

①＝１６００÷０．８＝２０００（円）

となります。「定価は何円ですか？」と問われているので答えは２０００円となります

【問２】(入門：利益率から仕入れ値を求める)
あるプラモデルを売ると６０円の利益がありました。この利益は仕入れ値の２０％にあたります。仕入れ値はいくらですか？

問題文をそのまま図に書いていきます

「利益は仕入れ値の２０％にあたります」とあるので、仕入れ値は①、利益は

とあらわす事ができます。これを念頭に、「プラモデルを売ると６０円の利益がありました。この利益は仕入れ値の２０％にあたります」をそのまま図にすると

となります。この問題の図はこれで完成です

なので、①＝６０÷０．２＝３００（円）となります。「仕入れ値はいくらですか？」と問われているので答えは①、すなわち３００円となります

【問３】(基本：利益率から仕入れ値を求める)
あるプラモデルを仕入れ値の３割の利益を見込んで定価をつけました。このプラモデルを定価の２割引きで売ると、利益は４０円でした。このプラモデルの仕入れ値はいくらですか？

問題文をそのまま図に書いていきます

「仕入れ値の３割の利益を見込んで定価をつけました」「定価の２割引きで売ると」の２つの条件があります。このような場合はそれぞれをそのまま図に書きます。以下では２本の線分図で表現しますが、１本の線分図でも良いです

まず、「仕入れ値の３割の利益を見込んで定価をつけました」ですが、仕入れ値を１とした時に、利益を０．３とします。また「定価の２割引きで売ると」は定価を１とし割引きを０．２とします。

このままでは解けません。いつものとおり、ここから分かる事を図に書き足してみます。「定価の２割引きで売ると」より、売値は定価の８割という事が分かるので８割にあたる０．８を線分図に書き足してみます

書き足した０．８を○をつけた比率で表す事ができそうです。１．３の０．８が売り値なので売値は１．０４となります

これより

という事がわかります。よって①＝４０÷０．０４＝１０００（円）と求まります

【問４】(入門：売り上げ高を求めてから定価を求める)
リンゴを７０円で３００個仕入れましたが、そのうちの２５個は傷んでいたので売るのをやめました。傷んでいないものは全て売って、全体で１割の利益があるように定価をつけると、１個何円になるでしょう

問題文をそのまま図に書いていきます

「７０円で３００個仕入れました」と「全体で１割の利益があるように定価をつける」を図にすると以下のようになります

この図より、売り上げは１．１なので

２１０００×１．１＝２３１００（円）

という事が分かります

「傷んでいないものは全て売って」より売ったリンゴの数は

３００－２５＝２７５（個）

となります。２７５個を全体で２３１００円で売るので１個あたりの売値（定価）は

２３１００÷２７５＝８４（円）

と求まります

【問５】(基本：値引き率と利益の差から定価を求める)
ある品物を定価の２割引きで売ると４０円もうかり、２割５分引きで売ると２０円もうかります。
（１）この品物の定価は何円ですか？
（２）この品物の仕入れ値は何円ですか？

（１）この品物の定価は何円ですか？

問題文をそのまま図に書いていきます

「定価の２割引きで売ると４０円もうかり」「２割５分引きで売ると２０円もうかります」を図にすると以下のようになります

この図をよく見て、分かる事を書き足してみましょう

４０円と２０円の差は２０円ですね。そして、この２０円は定価を１とした時の比率で表すと、０．２５と０．２の差の０．０５に該当する事がわかります

よって、
①＝２０÷０．０５＝４００（円）　（定価）と求まります。これが（１）の答えです

（２）この品物の仕入れ値は何円ですか？

続けて、わかる事を書き足してみましょう

①＝４００円

である事が分かったので、

となります。よって、

（仕入れ値）＝４００－（４０＋８０）＝２８０（円）

と求まります

【問６】(基本：割合だけで考える)
ある品物に仕入れ値の何割かの利益を見込んで定価をつけたところ、定価の２割引きで売っても、まだ仕入れ値の１割２分の利益がありました。定価を決める際、仕入れ値の何割の利益を見込んだでしょうか？

問題文をそのまま図に書いていきます

「仕入れ値の何割かの利益を見込んで定価をつけたところ、定価の２割引きで売っても、まだ仕入れ値の１割２分の利益がありました」とあります。この条件は「仕入れ値の何割かの利益を見込んで定価をつけたところ、定価の２割引きで売っても」の部分と「まだ仕入れ値の１割２分の利益がありました」の部分に分けてみます

まず、「仕入れ値の何割かの利益を見込んで定価をつけたところ、定価の２割引きで売っても」は定価を基準に考えるのがよく、定価の割合を１、「２割引き」の２割は０．２とあらわす事ができます

次に、「まだ仕入れ値の１割２分の利益がありました」ですが、こちらは仕入れ値を１とすると「１割２分の利益」は０．１２で表す事ができます

これらの条件を図に書くと以下のようになります。ここで注意してほしいのは、定価の「１」と「仕入れ値の１」は異なる尺度での割合なので区別して書くようにしましょう

この図に分かる事を書き足してみると以下となります

この図より、

という事が分かります。よって、

となります。この事を図に書き足すと以下となります

もうわかりましたね。仕入れ値の１に対して定価は１．４なので４割の利益を見込んでいたことが分かります

【問７】(基本：１個あたりの定価を①と置いて整理する)
仕入れ値が１個３３０円の品物を１００個仕入れて、仕入れ値の何割か増しの定価をつけました。この品物を、１０個を定価の３割引きで、３０個を定価の２割引きで、残りを定価のままで全部売ったら３４００円の利益になりました。定価はいくらですか？

 問題文をそのまま図に書いていきます

まず「１個３３０円の品物を１００個仕入れて」と「３４００円の利益」で全体像を書きます。ここに「１０個を定価の３割引きで」「３０個を定価の２割引きで」「残りを定価のままで」をそれぞれ書き足してみましょう。ここで、品物１個の定価を１とします。また、「１０個を定価の３割引きで」は「１０個を定価の７割で」に置き換えます。同じように「３０個を定価の２割引きで」は「３０個を定価の８割で」に、「残りを定価のままで」は「６０個を定価のままで」と考えます。

これを整理すると以下になります

これより、

なので、

が求まりました

【問８】(応用：つるかめ算を利用して解く)
なし５００個を、仕入れ値の２割の利益を見込んで定価をつけて売りました。何個か売れ残ったので、残ったなしを５円引きで売ったら、全部売れて、利益は４０００円になりました。これは初めに見込んだ利益の８割に相当します。

(１)なし１個の仕入れ値は何円ですか
(２)値引きして売ったなしは何個ですか？

定価は５０円×１．２＝６０円
５円引きの値段は６０－５＝５５円
なしを合わせて５００個買いました。何個かを定価の６０円で売りました。残りを５円引きの５５円で売ったら売り上げ高は２９０００円でした。値引きして売ったなしは何個ですか？

５円×☐個＝１０００円
よって、
☐＝１０００÷５＝２００個

【問９】(基本：とにかく整理する)
原価の２割５分の利益を見込んで定価をつけたある商品が、全部で１００個あります。これらの商品を、３日間のお祭りの期間中に売る事にしました。
１日目：定価で３０個売れました
２日目：１個につき定価から６０円引いて５０個売れました
３日目：残りの２０個を定価の１割引きで売りに出したところ全て売れ利益は３日間であわせて１９５００円になりました。
（１）３日目の売値は原価の何倍ですか？
（２）原価はいくらですか？

この問題は自力で解いてみて下さい。

（１）は原価に対する定価の割合を求め、定価に対する１割引きの値段の割合を求める事で簡単に求まります。答えは１．１２５倍です

（２）は最終的な売上高に２日目で割り引いた額と３日目に割り引いた額を加えると見込みの利益になる事から求めます。答えは１０００円です

頑張っていきましょう！

参考：目次

6-2. 濃度算（食塩水）

こんにちは、kaneQです

2021/11/21追記

問１０に関して、つるかめ算を使用した解き方を追記しました。この問題は食塩水の問題として考えると応用レベルの問題ですが、つるかめ算で考えると基本問題となります

2021/12/22

問１１を削除しました

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

今回は濃度算を学びます。食塩水の問題と考えてもらってよいです。食塩水は算数だけではなく理科でも出てきますのでしっかり理解するようにしましょう

今回のゴールは以下です
ゴール：面積図における逆比の使い方をマスターする

本記事では、「面積図」を中心に解説しますが、「てんびん図」を使った解き方、面積図やてんびん図を使わない「基本的な解き方」も説明します。この３つの解き方で一番重要なのは「基本的な解き方」です。かならず「基本的な解き方」もできるようにして下さい

面積図の考え方とてんびん図の考え方はそれぞれ以下を参照してください

濃度算（食塩水）と面積図

濃度算（食塩水）とてんびん図

まず、公式のおさらいです
食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度

例えば「１０％の食塩水５００ｇに含まれる食塩の重さは？」は
（食塩の重さ）＝５００×０.１＝５０（ｇ）
となります

本記事では以下の１０題の問題を紹介します。問題の種類は以下のとおりです
・食塩水と食塩水を混ぜる問題（問１、問２、問３）
・食塩水に食塩を加える問題（問４）
・食塩水に水を加える問題（問５）
・食塩水を蒸発させる問題（問６、問７）
・食塩水の一部を水と交換する問題（問８）
・食塩水の一部を別の食塩水と交換する問題（問９）
・その他（問１０、問１１）
難しいと感じる問題もあるかもしれませんが、問１から問９は基本問題なので必ず解けるようにしておきましょう 

【問１】（食塩水＋食塩水）
１２％の食塩水３００ｇと２％の食塩水２００ｇを混ぜてできる食塩水の濃度は何％になりますか？

【問２】（食塩水＋食塩水）
ある濃度の食塩水３００ｇと５％の食塩水１００ｇを混ぜると、濃度が８％になりました。３００ｇの食塩水の濃度は何％ですか？

【問３】（食塩水＋食塩水）
８％の食塩水１００ｇに１５％の食塩水を何ｇか混ぜたら１０％の食塩水ができました。１５％の食塩水を何ｇ混ぜたでしょうか？

【問４】（食塩水＋塩）
１０％の食塩水８００ｇに食塩１００ｇを加えると食塩水の濃度は何％になりますか？

【問５】（食塩水＋水）
８％の食塩水３００ｇに水１００ｇを加えると食塩水の濃度は何％になりますか？

【問６】（食塩水、蒸発）
９％の食塩水２００ｇから水を８０ｇ蒸発させると食塩水の濃度は何％になりますか？

【問７】（食塩水、蒸発）
９％の食塩水２００ｇから水を蒸発させると濃度が１５％になりました。水を何ｇ蒸発させたでしょうか？

【問８】（食塩水と水の交換）
１５％の食塩水６００ｇの一部をこぼしたので、こぼしたのと同じ重さの水を加えたら濃度が８％になりました。こぼした食塩水は何ｇですか？

【問９】（食塩水と食塩水の交換）
１５％の食塩水５００ｇがあります。この食塩水から１部を捨て、代わりに捨てた食塩水と同じ重さの５％の食塩水を加えると１３％の食塩水になりました。こぼした食塩水は何ｇですか？

【問１０】（食塩水＋食塩水）
７％の食塩水Ａと２％の食塩水Ｂを混ぜて５％の食塩水５００ｇができました。食塩水Ａは何ｇですか？

それでは問１からやっていきましょう。先ほど言いましたが、問１～問９は基本問題です

基本問題を解くときのポイントは以下でしたね
1.問題文を、先頭から順に、そのまま図に書く
2.図に書く事で見えてくる事を図に書き足していく
3.いつのまにか問題が解けている
濃度算でも上記手順で解き進める事ができます

【問１】（食塩水＋食塩水）
１２％の食塩水３００ｇと２％の食塩水２００ｇを混ぜてできる食塩水の濃度は何％になりますか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」を面積図で並べて書くと以下になります。食塩の重さにあたる部分を面積図に書きましょう。横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわしています

食塩水を混ぜるので食塩をならし、ならした後の様子を点線で書いてみます

 

 この図で色をつけたところの面積が等しいので、横幅の比は３：２となり、縦幅の比は「逆比」の２：３となります

求める濃度は赤線で示した部分の濃度なので
１２－②＝１２－２×２＝８％

と求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」をおもりとして、てんびんの図を書きます。「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

①＝２％なので、混ぜ合わせた食塩水の濃度は図の赤字に注目し、８％と求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」を混ぜる様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

「１２％の食塩水３００ｇ」には公式により３６ｇの食塩が含まれている事がわかります。「２％の食塩水２００ｇ」は同様に４ｇの食塩が含まれている事が分かります

混ぜ合わせた食塩水の重さ、食塩の重さはそれぞれの食塩水の重さと含まれる食塩の和になるので、食塩水の重さは５００ｇ、食塩の重さは４０ｇになります。この事から、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度は赤字で記載した通り、公式により８％と求まります

【問２】（食塩水＋食塩水）
ある濃度の食塩水３００ｇと５％の食塩水１００ｇを混ぜると、濃度が８％になりました。３００ｇの食塩水の濃度は何％ですか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「ある濃度の食塩水３００ｇ」と「５％の食塩水１００ｇ」を面積図で並べて書くと以下になります。食塩の重さにあたる部分を面積図に書きましょう。「ある濃度の食塩水」は濃度がわからないので☐％と書いておきます。横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわしています

食塩水を混ぜるので食塩をならし、ならした後の様子を点線で書いてみます

 この図で色をつけたところの面積が等しいので、横幅の比は３：１となり、縦幅の比は「逆比」の１：３となります

求める濃度は赤字で示した部分の濃度なので
８＋①＝８＋１×１＝９％

と求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

「ある濃度の食塩水３００ｇ」と「５％の食塩水１００ｇ」をおもりとして、てんびんの図を書きます。「ある濃度の食塩水」は濃度がわからないので☐％と書いておきます。「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

①＝１％なので、３００ｇの食塩水の濃度は図の赤字に注目し、９％と求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「ある濃度の食塩水３００ｇ」と「５％の食塩水１００ｇ」を混ぜる様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります。「ある濃度の食塩水」は濃度がわからないので☐％と書いておきます

「５％の食塩水１００ｇ」には公式により５ｇの食塩が含まれている事がわかります

混ぜ合わせた食塩水の重さはそれぞれの食塩水の重さの和なので４００ｇとなります。また、この４００ｇの食塩水の濃度は８％なので含まれる食塩の重さは公式により３２ｇである事がわかります

この事から、混ぜ合わせる前の３００ｇの食塩水には２７ｇの食塩が含まれている事がわかり、その濃度は公式により９％と求まります

【問３】（食塩水＋食塩水）
８％の食塩水１００ｇに１５％の食塩水を何ｇか混ぜたら１０％の食塩水ができました。１５％の食塩水を何ｇ混ぜたでしょうか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「８％の食塩水１００ｇ」と「１５％の食塩水を何ｇか」を面積図で並べて書くと以下になります。食塩の重さにあたる部分を面積図に書きましょう。「１５％の食塩水を何ｇか」は重さがわからないので☐ｇと書いておきます。横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわしています

食塩水を混ぜるので食塩をならし、ならした後の様子を点線で書いてみます

 この図で色をつけたところの面積が等しいので、縦幅の比は２：５となり、横幅の比は「逆比」の５：２となります

求める重さは赤字で示した部分なので
☐＝②＝２×２０＝４０ｇ

と求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

「８％の食塩水１００ｇ」と「１５％の食塩水を何ｇか」をおもりとして、てんびんの図を書きます。「１５％の食塩水を何ｇか」は重さがわからないので☐ｇと書いておきます。「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

①＝２０ｇなので、１５％の食塩水の重さは図の赤字に注目し、４０ｇと求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「８％の食塩水１００ｇ」と「１５％の食塩水を何ｇか」を混ぜる様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります。「１５％の食塩水を何ｇか」は重さがわからないので①ｇと置く事にします

「８％の食塩水１００ｇ」には公式により８ｇの食塩が含まれている事がわかります。また、「１５％の食塩水①ｇ」には公式により

の食塩が含まれている事がわかります。よって、混ぜ合わせた後の食塩水には

の食塩が含まれている事になります

一方、混ぜ合わせた後の食塩水の重さは（１００＋①）ｇで、濃度が１０％なので食塩は

とあらわす事ができます。これらが等しいので

が成り立ちます。この式を整理すると①＝４０となります。①は１５％の食塩水の重さなので、１５％の食塩水の重さは４０ｇと求まります

【問４】（食塩水＋塩）
１０％の食塩水８００ｇに食塩１００ｇを加えると食塩水の濃度は何％になりますか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「１０％の食塩水８００ｇ」と「食塩１００ｇ」を面積図で並べて書くと以下になります。食塩の重さにあたる部分を面積図に書きましょう。「食塩１００ｇ」は「１００％の食塩水１００ｇ」と置き換えて考えます。横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわしています

食塩水を混ぜるので食塩をならし、ならした後の様子を点線で書いてみます

 この図で色をつけたところの面積が等しいので、横幅の比は８：１となり、縦幅の比は「逆比」の１：８となります

求める濃度は赤線で示した部分の濃度なので
１０＋①＝１０＋１０＝２０％

と求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

「１０％の食塩水８００ｇ」と「食塩１００ｇ」をおもりとして、てんびんの図を書きます。「食塩１００ｇ」は「１００％の食塩水１００ｇ」と置き換えて考えます。「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

①＝１０％なので、混ぜ合わせた食塩水の濃度は図の赤字に注目し、２０％と求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「１０％の食塩水８００ｇ」と「食塩１００ｇ」を混ぜる様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

「１０％の食塩水８００ｇ」には公式により８０ｇの食塩が含まれている事がわかります

混ぜ合わせた食塩水の重さは５００ｇ、食塩の重さは１８０ｇになります。この事から、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度は赤字で記載した通り、公式により２０％と求まります

【問５】（食塩水＋水）
８％の食塩水３００ｇに水１００ｇを加えると食塩水の濃度は何％になりますか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「８％の食塩水３００ｇ」と「水１００ｇ」を面積図で並べて書くと以下になります。食塩の重さにあたる部分を面積図に書きましょう。「水１００ｇ」は「０％の食塩水１００ｇ」と置き換えて考えます。横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわしています

食塩水を混ぜるので食塩をならし、ならした後の様子を点線で書いてみます

 

 この図で色をつけたところの面積が等しいので、横幅の比は３：１となり、縦幅の比は「逆比」の１：３となります

求める濃度は赤字で示した部分の濃度なので
③＝３×２＝６％

と求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

「８％の食塩水３００ｇ」と「水１００ｇ」をおもりとして、てんびんの図を書きます。「水１００ｇ」は「０％の食塩水１００ｇ」と置き換えて考えます。「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

③＝６％なので、混ぜ合わせた食塩水の濃度は図の赤字に注目し、６％と求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「８％の食塩水３００ｇ」と「水１００ｇ」を混ぜる様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

「８％の食塩水３００ｇ」には公式により２４ｇの食塩が含まれている事がわかります。混ぜ合わせた食塩水の重さは４００ｇ、食塩の重さは２４ｇになります。この事から、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度は赤字で記載した通り、公式により６％と求まります

【問６】（食塩水、蒸発）
９％の食塩水２００ｇから水を８０ｇ蒸発させると食塩水の濃度は何％になりますか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文を面積図に書いてみます。食塩の重さにあたる部分を面積図に書く点と、横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわす点はいつもと同じです

「水を８０ｇ蒸発させる」はどのように書けばよいのか迷うところです

本記事では、問題文をそのまま書く方法と、問題文の解釈を変えて書く方法を紹介します

そのまま書く方法

まず「９％の食塩水２００ｇ」をそのまま書いてみます

上図から「水を８０ｇ蒸発させる」ので残りの食塩水は１２０ｇになります。また、濃度はもとの９％よりも濃くなります。この事をそのまま図に書き足してみます

このようになります

問題文の解釈を変えて書く方法

 次に、「９％の食塩水２００ｇから水を８０ｇ蒸発させると」を「１２０ｇの食塩水と水８０ｇを混ぜると９％の食塩水が２００ｇできました」と解釈を変えてみます

「１２０ｇの食塩水と水８０ｇをまぜる」を図にすると以下になります

これに「９％の食塩水２００ｇができました」をつけ足すと

このようになります

「問題文をそのまま書く方法」「問題文の解釈を変えて書く方法」どちらも同じ図になりました。上記外の方法もあるかもしれません。自分が分かりやすい書き方をしましょう

解答を続けます

上記のように色をつけたところの面積が等しいので、横幅の比は３：２となり、縦幅の比は「逆比」の２：３となります

求める濃度は赤字で示した部分の濃度なので
９＋② ＝９＋６＝１５％

と求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

てんびん図も「水を８０ｇ蒸発させる」はどのように書けばよいのか迷うところです

さきほど面積図で「問題文の解釈を変えて書く方法」を紹介しましたが、この考え方が良さそうです。つまり、「９％の食塩水２００ｇから水を８０ｇ蒸発させると」を「１２０ｇの食塩水と水８０ｇを混ぜると９％の食塩水が２００ｇできました」と解釈を変えてみます。こう解釈する事でてんびんのおもりは「１２０ｇの食塩水」と「水８０ｇ」となり、支点は「９％の食塩水が２００ｇ」となり図は以下のようになります

「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

②＝６％なので、水が蒸発した後の１２０ｇの食塩水の濃度は図の赤字に注目し、１５％と求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「９％の食塩水２００ｇ」から「水を８０ｇ蒸発させる」の様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

「９％の食塩水２００ｇ」には公式により１８ｇの食塩が含まれている事がわかります。水が８０ｇ蒸発した後の食塩水の重さは１２０ｇ、食塩の重さは１８ｇになります。この事から、水が蒸発した後の１２０ｇの食塩水の濃度は赤字で記載した通り、公式により１５％と求まります

【問７】（食塩水、蒸発）
９％の食塩水２００ｇから水を蒸発させると濃度が１５％になりました。水を何ｇ蒸発させたでしょうか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文を面積図に書いてみます。食塩の重さにあたる部分を面積図に書く点と、横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわす点はいつもと同じです

「水を８０ｇ蒸発させる」はどのように書けばよいのか迷うところですが、問６で紹介した「問題文をそのまま書く方法」で解き進める事にします

「９％の食塩水２００ｇから水を蒸発させると濃度が１５％になりました」は以下になります

 この図にわかる事を書き足していきます

上記のように色をつけたところの面積が等しいので、縦幅の比は２：３となり、横幅の比は「逆比」の３：２となります

求める濃度は赤線で示した部分の濃度なので８０ｇと求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

この問題も「水を蒸発させる」をどのように書けばよいのか迷うので問題文の解釈を変えてみましょう

具体的には、「９％の食塩水２００ｇから水を蒸発させると濃度が１５％になりました」を「濃度が１５％の食塩水と水を混ぜると９％の食塩水２００ｇができました」と解釈を変えてみます。こう解釈する事でてんびんのおもりは「濃度が１５％の食塩水」と「水」となり、支点は「９％の食塩水が２００ｇ」となり図は以下のようになります。図には、「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」から分かる情報も書き加えましょう

 蒸発した水は②であり、赤字に注目すると②＝８０ｇと求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「９％の食塩水２００ｇ」から「水をさせる」の様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

「９％の食塩水２００ｇ」には公式により１８ｇの食塩が含まれている事がわかります。水が蒸発した後の食塩水の重さを①としたとき、この食塩水の濃度は１５％なので公式により食塩の重さは

となります。これが１８ｇなので①は１２０ｇとなります。蒸発した水の重さは赤字で記載した通り８０ｇと求まります

【問８】（食塩水と水の交換）
１５％の食塩水６００ｇの一部をこぼしたので、こぼしたのと同じ重さの水を加えたら濃度が８％になりました。こぼした食塩水は何ｇですか？

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文を面積図に書いてみます。食塩の重さにあたる部分を面積図に書く点と、横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわす点はいつもと同じです。「１５％の食塩水６００ｇの一部をこぼしたので、こぼしたのと同じ重さの水を加えた」は以下のようになります

この下側の図に分かる事を書き加えてみましょう

上記のように色をつけたところの面積が等しいので、縦幅の比は７：８となり、横幅の比は「逆比」の８：７となります

「こぼした食塩水の重さ」は加えた水の重さと等しいので、求める濃度は赤字で示した部分の重さとなり２８０ｇと求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

この問題も問題文の解釈を変えてみます。「１５％の食塩水６００ｇの一部をこぼしたので、こぼしたのと同じ重さの水を加えたら濃度が８％になりました」は「１５％の食塩水△ｇと水☐ｇをまぜると８％の食塩水が６００ｇできました」と考える事ができます

こう解釈する事でてんびんのおもりは「１５％の食塩水△ｇ」と「水☐ｇ」となり、支点は「８％の食塩水が６００ｇ」となり図は以下のようになります。図には、「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」から分かる情報も書き加えましょう

「こぼした食塩水の重さ」は加えた水の重さと等しいので、赤字に注目すると⑦＝２８０ｇと求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「１５％の食塩水６００ｇの一部をこぼしたので、こぼしたのと同じ重さの水を加えたら濃度が８％になりました」の様子をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

「１５％の食塩水６００ｇ」には公式により９０ｇの食塩が含まれている事がわかります。また、「こぼしたのと同じ重さの水を加えた食塩水」には公式により４８ｇの食塩が含まれている事になります。つまり、「こぼしたのと同じ重さの水を加えたら」により食塩は４２ｇ減った事になります。この減った４２ｇの食塩はこぼれた１５％の食塩に含まれている食塩なので、整理するとこぼれた食塩水の重さは赤字で記載した通り２８０ｇと求まります

【問９】（食塩水と食塩水の交換）
１５％の食塩水５００ｇがあります。この食塩水から１部を捨て、代わりに捨てた食塩水と同じ重さの５％の食塩水を加えると１３％の食塩水になりました。こぼした食塩水は何ｇですか？

こちらは問８とほぼ同じなので解説は省略します。答えは「１００ｇ」です

なお、(解３：公式を使った基本的な解き方)は少し難しいかもしれません。こぼした食塩水の重さを☐ｇまたは①ｇと置いて方程式をたてて解く事になります

【問１０】（食塩水＋食塩水）
７％の食塩水Ａと２％の食塩水Ｂを混ぜて５％の食塩水５００ｇができました。食塩水Ａは何ｇですか？

この問題はつるかめ算でも解く事ができます。ぜひ挑戦してみて下さい

以下ではいつもの解１～解３を解説します

(解１：面積図を使った解き方)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「７％の食塩水Ａと２％の食塩水Ｂを混ぜて５％の食塩水５００ｇができました」を面積図で並べて書くと以下になります。食塩の重さにあたる部分を面積図に書く点と、横幅は食塩水の重さ、縦幅は食塩水の濃度をあらわす点はいつもと同じです

図から分かる事をどんどん書き足してみます

 この図で色をつけたところの面積が等しいので、縦幅の比は２：３となり、横幅の比は「逆比」の３：２となります。Aの重さは赤字で示した部分なので３００ｇと求まります

(解２：てんびん図を使った解き方)

「７％の食塩水Ａ」と「２％の食塩水Ｂ」をおもりとして、てんびんの図を書きます。「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」のでこれら情報を書き加えると以下のような図になります

食塩水Ａの重さは図の赤字に注目し３００ｇと求まります

てんびん図を使った解き方の詳細は省略します

(解３：公式を使った基本的な解き方)

問１０は解３が一番難しいと思います。公式を使って解く場合、方程式と消去算を使う必要があります(いわゆる連立方程式です)

まず、問題文をそのまま図に書いてみます。「７％の食塩水Ａと２％の食塩水Ｂを混ぜて５％の食塩水５００ｇができました」をイメージ図（ビーカー図）で書くと以下のようになります

ここで、食塩水Ａの重さを①ｇ、食塩水Ｂの重さをｇと置く事がこの問題を解くポイントとなります

公式により、食塩水Ａには

の食塩が含まれ、食塩水Ｂには

の食塩が含まれている事になります。これらの和が混ぜた後の食塩水に含まれる食塩の重さと等しくなるので、

という式が成り立ちます。また、食塩水Ａと食塩水Ｂを混ぜると５００ｇになるので、

という式も成り立ちます。これら２つの式を消去算で整理してみます

消去算により整理すると①＝３００ｇとなり、食塩水Ａの重さは３００ｇである事がわかります

(解４：つるかめ算)

最後につるかめ算を使った解き方を説明します。この問題は食塩水の問題にみせかけたつるかめ算の問題と考える事ができます。気付きましたか？

問題文にだまされずに、どのように解くかを見極める事を忘れないようにしましょう

この問題は食塩水の問題と考えると難易度は高くなりますが、つるかめ算と考えると基本中の基本の容易な問題となります

まず、５％の食塩水５００ｇに含まれる食塩の量は

５００×０．０５＝２５ｇ

は計算で求めておきます

次に、

• ５００ｇの食塩水の全てが食塩水Aだったら
• ５００ｇの食塩で、４００ｇが食塩水A、１００ｇが食塩水Bだったら
• ５００ｇの食塩で、３００ｇが食塩水A、２００ｇが食塩水Bだったら

と順に考えて表を書いてみます

はい！

いきなり答えの３００ｇに到達できました。今回はつるかめ算をつかうまでもなく表を書くと１分くらいで答えに到達できました。今回のようにきっかり計算できない場合はつるかめ算を使う事になりますがおそらく２分くらいで答えに到達できます

この問題は食塩水の問題として考えると応用レベルの問題ですが、つるかめ算で考えると基本問題となります

食塩水の問題はたいていの場合「面積図やてんびん図」で解く事ができます
ただ、「面積図やてんびん図」を使うと問題の意味をおろそかにしがちになるので、「面積図やてんびん図」を使わずに問題の意味を理解しながら解く「基本的な解き方」は必ず理解しましょう。「面積図やてんびん図」では解けない問題が出た場合、基本的な考え方を理解しておかないと解けなくなってしまいます

今回いろいろな解き方を紹介しましたが以下の順でマスターするようにお願いしたいです
1.「基本的な解き方」を理解する（必須）
2.「基本的な解き方」を理解した上で、問題を早く解くための方法として「面積図」「てんびん図」を身につけておく

なお、面積図とてんびん図はどちらか１つを押さえておけば良いです。器用な人は両方覚えておいて損はないですが、そうでない人はあれこれ手を出すのは危険です。面積図に絞って理解を深めるのをおすすめします。てんびん図より面積図をすすめる理由は２つあります

• 面積図の方がてんびん図より多くの種類の特殊算で利用できる。どちらかに絞るのであれば面積図が良い（よけいなてんびん図は覚えない）
• （必ずしもそうとは限らないですが）てんびん図は、今回紹介した問６、７、８、９のように問題文の解釈を変えないと図をかけない問題がある

まあ、結局は好みかもしれません

頑張っていきましょう！

参考：目次

[Rev.0.01 2020/4/21]

[Rev.0.02 2021/11/21]

[Rev.0.03 2021/12/22]

濃度算（食塩水）とてんびん図

[Rev.1.00 2020/4/17]

こんにちは、kaneQです

参考：目次

本記事では食塩水の問題(濃度算)をてんびん図を使用して解く方法を説明します

まず、公式のおさらいです。以下は必ず覚えて下さい
食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度

それでは実際に食塩水の問題(濃度算)を解いてみましょう。「なぜ濃度算でてんびん図が成り立つのか？」は難しいですが、文末に載せておきます

【例題】
１２％の食塩水３００ｇと２％の食塩水２００ｇを混ぜてできる食塩水の濃度は何％になりますか？

まず、公式を使った基本的な解き方を説明し、次にてんびん図を使った説明をする事にします

(解１：公式を使った基本的な解き方)

「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」を混ぜるとありますのでそのままのイメージを図にしてみます（いわゆるビーカー図です）

混ぜた後の食塩水は３００ｇと２００ｇを足した５００ｇになることが分かると思います。他に分かる事を書き足してみましょう

「１２％の食塩水３００ｇ」には公式を使い食塩が３６ｇ含まれている事がわかります。また、「２％の食塩水２００ｇ」には４ｇの食塩が含まれていることが分かります。よって、混ぜた食塩水には食塩は３６ｇと４ｇの和の４０ｇ含まれている事が分かります

混ぜた後の食塩水の重さは５００ｇで、含まれる食塩は４０ｇなのでこの食塩水の濃度は
濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ ＝４０÷５００ ＝ ０．０８
となり８％である事が求まりました

次にてんびん図を使った解き方をみてみましょう

(解２：てんびん図をつかった解き方)
「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」を混ぜるとありますのでそれぞれの食塩水をおもりとしててんびんの図を書いてみます

てんびんの支点は３００ｇと２００ｇを支えるので重さのつり合いから５００ｇの力が加わる事になります。食塩水のてんびん図において、支点は各食塩水を混ぜ合わせた食塩水をあらわす事になります

また、てんびんをつりあわせるためには３００ｇによるモーメントと２００ｇによるモーメントを等しくする必要があるので、それぞれのおもりと支点との距離はおもりの重さの「逆比」になります。それぞれのおもりの比とそれぞれのおもりと支点との距離の比を書き加えると以下のようになります

次に濃度です。３００gの食塩水の濃度が１２％、２００ｇの食塩水の濃度が２％なので濃度の差は１０％となります。一方で支点とおもりの距離の比の合計は⑤となります

図において、比の合計の⑤は濃度の差の１０％と等価なので

① = ２％

と換算できる事になります。よって、支点の濃度は

２％＋③ = ２％＋（３×２％）＝８％

と求まりました

てんびん図を利用して濃度算を解く場合、「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」という考え方を使う事になります

なぜ「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」が成り立つのかは文末に載せますが、まずは「そういうもんだ」くらいに考えておいてください

ここで、(解１：公式を使った基本的な解き方)と(解２：てんびん図をつかった解き方)を比較してみたいと思います

(解１)では、混ぜる前の食塩水に含まれる食塩の重さをそれぞれ計算で求め、混ぜた後の食塩の重さと食塩水の重さから濃度を計算しました

(解２)は比を使った簡単な計算だけで濃度が求まりました

計算の量で比較すると（解２）の方が圧倒的に少ないです。つまり、計算ミス等をする可能性も低くなります

一方で、（解２）は食塩水の意味を考えなくても問題が解けてしまいます。極端なはなし、てんびん図は「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」という事だけ意識しさえすれば食塩水の公式を覚えていなくても問題が解けてしまいます。また、「なぜてんびん図を使って解く事ができるのか」を理解していなくても単なるてんびんパズルとして問題を解けてしまいます。もし、食塩水の意味を理解しないままてんびん図を使っていると、てんびん図では解けない濃度算に太刀打ちできなくなるので注意しましょう

本記事のまとめです

• てんびん図は問題を早く解くために非常に有効な手段である
• てんびん図は計算ミスをなくすために非常に有効な手段である
• 基本的な解き方を理解した上でてんびん図を使う事
• てんびん図でなぜ濃度算を解く事ができるのかを理解した上でてんびん図を使う事（これは正直、小学生には難しいと思います）

さて、先ほど予告しましたが、「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」について説明します。説明にあたり、「分配法則」と「代入」、「移項」、「比例式」を駆使するため小学生には難しめの内容と思いますが、１回は説明を読んでみて欲しいです。できれば数式の部分をノートに書き写すくらいすると理解が深まります

以下の状況を考えてみましょう

食塩水A（濃度aの食塩水Ag）と食塩水B(濃度bの食塩水Bg)を混ぜて食塩水C(濃度cの食塩水)をつくる (a > c > bとする)

まずビーカー図で整理してみます

食塩水Cに含まれる食塩の重さは
（A＋B）×ｃ
とあらわす事ができ、また食塩水Cに含まれる食塩の重さは食塩水Aと食塩水Bに含まれる食塩の和なので
（A×a）＋（B×b）
とあらわすことができます。これらが等しいので
(A+B) ×c＝(A×a)＋(B×b)
となります。これより

が成り立ちます。ここでてんびん図を書いてみましょう

濃度に注目してみます。今、a > c > b なので、(a – c) : (c – b)について考えてみましょう。ここでｃについて先ほどの①の置き換え（代入）をしてみると以下のように整理できます

となります。長くなったのでまとめを書くと

(a – c) : (c – b) = B：A

となる事がわかりました。先ほどの図にこの事を書き足すと以下のようになります

この図は「各食塩水の濃度と、混ぜ合わせた後の食塩水の濃度の差の比は各食塩水の重さの逆比となる」を示しています。濃度に関しても食塩水の重さの逆比が成り立つことが分かりました。これで安心しててんびん図を使う事ができますね！

食塩水の問題には様々なバリエーションがあります。いくつか紹介しますので興味のあるかたはこちらをどうぞ

参考ですが、面積図を使った濃度算の解き方はこちらに掲載しました

それでは、頑張っていきましょう！

参考：目次

[Rev.0.00 2020/4/17]

濃度算（食塩水）と面積図

[Rev.0.00 2020/4/16]

こんにちは、kaneQです

参考：目次

本記事では食塩水の問題(濃度算)を面積図を使用して解く方法を説明します

まず、公式のおさらいです。以下は必ず覚えて下さい
食塩の重さ＝食塩水の重さ×濃度

例えば「１０％の食塩水５００ｇに含まれる食塩の重さは？」は
食塩の重さ＝５００×０.１＝５０ｇ
となります

それでは実際に食塩水の問題(濃度算)を解いてみましょう

【例題】
１２％の食塩水３００ｇと２％の食塩水２００ｇを混ぜてできる食塩水の濃度は何％になりますか？

まず、公式を使った基本的な解き方を説明し、次に面積図を使った説明をする事にします

(解１：公式を使った基本的な解き方)

「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」を混ぜるとありますのでそのままのイメージを図にしてみます（いわゆるビーカー図です）

混ぜた後の食塩水は３００ｇと２００ｇを足した５００ｇになることが分かると思います。他に分かる事を書き足してみましょう

「１２％の食塩水３００ｇ」には公式を使い食塩が３６ｇ含まれている事がわかります。また、「２％の食塩水２００ｇ」には４ｇの食塩が含まれていることが分かります。よって、混ぜた食塩水には食塩は３６ｇと４ｇの和の４０ｇ含まれている事が分かります

混ぜた後の食塩水の重さは５００ｇで、含まれる食塩は４０ｇなのでこの食塩水の濃度は
濃度＝食塩の重さ÷食塩水の重さ ＝４０÷５００ ＝ ０．０８
となり８％である事が求まりました

次に面積図を使った解き方をみてみましょう

(解２：面積図をつかった解き方)
「１２％の食塩水３００ｇ」と「２％の食塩水２００ｇ」を混ぜるとありますのでそのままのイメージを図にしてみます

混ぜる事で何％かの食塩水が５００ｇできました

なお、図では「食塩」と書いてある部分は食塩水に含まれる食塩の重さを表しています。例えば、「１２％の食塩水３００ｇ」に含まれる食塩の重さは

１２％ × ３００ｇ

なので、食塩の重さは「食塩」と書いてある部分の「面積」となります

次に、混ぜたあとの図の食塩の部分に注目してください

混ぜる前と混ぜたあとで食塩の重さは同じなので、混ぜる事で①の部分の食塩が②に移動したと考える事ができます。つまり、
①の面積＝②の面積
となるのです

①の面積と②の面積ですが、横の幅は３００ｇ：２００ｇなので３：２という事が分かります。図に

を書き加えてみましょう。そして①の面積と②の面積は等しいので縦の幅は横の幅の「逆比」になり２：３となります。図に

を書き加えてみましょう

縦の幅の比を足すと

となり、この部分は１２％と２％の差である１０％に相当するので

 

となります。混ぜたあとの食塩水の濃度は以下の図で考えてみましょう

混ぜたあとの食塩水の濃度は 

なので８％と求まります

面積図を利用して濃度算を解く場合、この「①の面積と②の面積が同じ」という考え方を使う事になります

説明が長くなりましたが、慣れると一番下の図だけ書いて解けるようになります

ここで、(解１：公式を使った基本的な解き方)と(解２：面積図をつかった解き方)を比較してみたいと思います

(解１)では、混ぜる前の食塩水に含まれる食塩の重さをそれぞれ計算で求め、混ぜた後の食塩の重さと食塩水の重さから濃度を計算しました

(解２)は比を使った簡単な計算だけで濃度が求まりました

計算の量で比較すると（解２）の方が圧倒的に少ないです。つまり、計算ミス等をする可能性も低くなります

一方で、（解２）は食塩水の意味を考えなくても問題が解けてしまいます。極端なはなし、面積図は横幅に食塩水の重さ、縦幅に濃度を置くという事だけ意識しさえすれば食塩水の公式を覚えていなくても問題が解けてしまいます。また、「なぜ面積図を使って解く事ができるのか」を理解していなくても単なる図形の面積の問題として問題を解けてしまいます。もし、食塩水の意味を理解しないまま面積図を使っていると、面積図では解けない濃度算に太刀打ちできなくなるので注意しましょう

本記事のまとめです

• 面積図は問題を早く解くために非常に有効な手段である
• 面積図は計算ミスをなくすために非常に有効な手段である
• 基本的な解き方、面積図でなぜ濃度算を解く事ができるのかを理解した上で面積図を使う事

食塩水の問題には様々なバリエーションがあります。いくつか紹介しますので興味のあるかたはこちらをどうぞ

また、参考ですが、てんびん図を使った濃度算の解き方はこちらに掲載しました

それでは、頑張っていきましょう！

参考：目次