6-4. つるかめ算

[Rev.0.04 2021/11/20]

こんにちは、kaneQです

「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう

参考：目次

今回はつるかめ算を学びます

つるかめ算とは、つるとかめの合計頭数とその足の合計数からそれぞれの頭数を求める類の問題のことです

つるかめ算は非常に多くのバリエーションがあります。他の特殊算は図をつかって整理すれば解ける問題がほとんどです。しかしつるかめ算は整理の仕方を知らないと解けない問題が多いです。昔から中学受験の算数の中で重要な単元であり続けているのはそのためだと考えてます

しかし、基礎をしっかり身につけていれば解き方自体は難しくはありません。代表的なバリエーションをしっかり身につければ十分に対応できます

なお、つるかめ算は売買損益算やニューン算等の他の特殊算と組み合わせた問題も数多くみられます。理科でもつるかめ算を用いないと解けない問題が出題される事があります。ただ、他の特殊算と組み合わせたつるかめ算や理科で出題されるつるかめ算は基礎的な知識でとけるものがほとんどです。不意にこれらの問題に遭遇したとしても焦らないで下さい

今回のゴールは以下です
ゴール：つるかめ理論を理解する。ついでに面積図もつかえるようにする

本サイトは「算数は図で考える」を基本としており、本記事でも面積図を使ったつるかめ算の解き方を紹介します。ただ、面積図を使わない「基本的な解き方」も紹介します。つるかめ算は面積図を使わない「基本的な解き方」をまず理解してください。面積図は、おまけくらいに考えてもらった方が良いかもしれません。面積図を使ってつるかめ算を解くためには、面積図を書く前に下準備をしたり、面積図を加工しないと解けない場合が多いです。これらの方法が思い浮かばないと試験中にパニックになるかもしれません。一方で、「基本的な解き方」はほぼ全ての問題に対して、問題をそのまま整理すれば解けます。面積図をうまく書けない場合を想定し、「基本的な解き方」もできるようにして下さい

それでは問題です（以下で、つるは足が２本、カメは足が４本、かぶとむしは足が６本あるものとします）

【問１】
ツルとカメがあわせて９匹います。その足の数の合計は２６本です。このときツルとカメはそれぞれ何匹ですか？

【問２】
１個１００円のみかんと１個１２０円のリンゴと、１個１３０円のなしを合わせて２０個買ったら、代金の合計が２３００円でした。リンゴとなしを同じ数だけ買った時、みかん、リンゴ、なしをそれぞれ何個買ったでしか？

【問３】
ツルとカメとかぶとむしがあわせて３５匹います。足の数の合計は１５２本です。ツルがカメより２匹少ない時、かぶと虫は何匹ですか？

【問４】
ツルとカメとかぶとむしが合わせて３５匹います。足の数の合計は１４６本です。カメはツルの２倍います。カメは何匹ですか？

【問５】
Ａ君とＢ君の２人がじゃんけんをして、勝った方には３点を与え、負けた方からは２点を引き、あいこの場合はそれぞれに１点ずつを与えます。はじめの２人の持ち点はそれぞれ２０点とします。
じゃんけんを１５回したところ、２人の持ち点の合計は６０点でした。このとき、あいこは何回でしたか？

それでは問１からやっていきましょう

【問１】
ツルとカメがあわせて９匹います。その足の数の合計は２６本です。このときツルとカメはそれぞれ何匹ですか？

（解１）つるかめ理論を使う

基本的なつるかめ算の問題です。まずは表を使って力技（ちからわざ）で解いてみます

「ツルとカメがあわせて９匹いる」から全てツルだった場合の足の合計数を表にすると以下のようになります

９匹全てツルだったら、ツルの足は９×２で１８本となります。カメは０匹なのでカメの足は０本です。ツルとカメの足の合計は１８＋０＝１８本となります

次に、ツルを１匹へらし８匹とし、カメを１匹ふやし１匹とすると足の数はどうなるでしょう。表にかきてしてみましょう

ツルが８匹だったら、ツルの足は８×２で１６本となります。カメは１匹なのでカメの足は４×１で４本です。ツルとカメの足の合計は１６＋４＝２０本となります

おなじようにしてツルを１匹ずつへらし、カメを１匹ずつふやして表を書き進めていきます

すると、ツルが５匹、カメが４匹のときに合計の足の数の合計が２６本になりました。足の数の合計が２６本の時のツルとカメの数を求める問題だったので、答えは「ツルが５匹、カメが４匹」となりました

上のやり方は求める足の合計になるまでひたすら表を書いていく事になるので効率的な解き方ではありません。ではどうすれば良いでしょうか？

上の表をよくながめて下さい。何か気付く事が無いでしょうか？

「ツルの数が１へるごとに合計の足の数が２本増えている」または「カメの数が１ふえるごとに合計の足の数が２本増えている」という事が分かります。この事を元に効率的に答えを導いてみましょう

表に書く情報は上の図の内容だけで良いです。全てがツルだった場合とツルを１匹へらした場合の内容をしっかり表に書き込みます。これより「ツルの数が１へるごとに合計の足の数が２本増えている」が明確になります。また、９匹全てがツルだった場合の足の合計は１８本です。ツルとカメの足が２６本になるには２６本と１８本の差である「８本を増やすにはツルが何匹へれば良いのか？」を考えます。これは簡単で

８÷２＝４

でツルが４匹へれば良い事がわかります。全てがツルの場合は９匹なので、４匹へらすと

９－４＝５

となり、ツルは５匹と求める事ができます。カメは

９－５＝４

より、４匹となります

このように、「ツルとカメの合計の頭数とその足の合計数が決まっているときに、それぞれの頭数を１変えた場合の足の合計数の変化量からツルとカメのそれぞれの頭数が明らかになる」という考え方を私はつるかめ理論と呼んでいます。つるかめ理論は初めは表を使って解くのが良いですが、慣れてくると暗算で解けるようになります

（解２）面積図をつかう

次に面積図を用いた解き方を紹介します。この図が何を表しているかわかりますか？

そうです。ツルとカメの足の数を表した面積図です。もう少し情報を書き込んでみましょう

こうするとよくわかると思います。赤枠でかこったところはそれぞれツルの足の数、カメの足の数を表しています。青枠でかこったところはツルとカメの足の数の合計、この問題では２６本となります。あとは単なる図形の問題となります

上のように赤枠でかこった部分と青枠でかこった部分に分けてみます。ツルとカメがそれぞれ何匹いるかわかりませんが合計で９匹なので赤枠でかっこった部分の面積（足の数）は

２×９＝１８本

となります。足の数の合計は２６本なので青枠で囲った部分の面積（足の数）は

２６－１８＝8本

となります。

図に分かる事と分からない事を書き足してみましょう。青枠の縦の幅は

４－２＝２本

という事が分かります。横の幅はわからないので☐と置いてみます。すると図は以下のようになります

青枠で囲った部分の面積（足の数）に注目すると

２×☐＝８

なので、

☐＝４匹

となります。☐はカメの匹数なのでカメは４匹となります。ツルとカメの合計は９匹なのでツルは

９－４＝５

より５匹と求まります

【問２】
１個１００円のみかんと１個１２０円のリンゴと、１個１３０円のなしを合わせて２０個買ったら、代金の合計が２３００円でした。リンゴとなしを同じ数だけ買った時、みかん、リンゴ、なしをそれぞれ何個買ったでしか？

（解１）つるかめ理論を使う

まずは表を使った解き方です。今回は３つの品物について考える必要がありますが難しく考える必要はありません。そのまま３つの品物について表に整理すれば良いだけです

まず２０個全てみかんだった場合の表を書きましょう

次にみかんが１９個の場合を考えたいところですが、、、問題文に「リンゴとなしを同じ数だけ買った時」の条件があるのでみかんが１９個というのはありえません。みかんは１８個、１６個と２個ずつ減らしていく事に注意しましょう

表は以下のようになります

問題で与えられている代金の合計は２３００円です。２０個全てみかんの場合の代金の合計は２０００円なので、合計の代金の差は

２３００－２０００＝３００円

となります。一方で、みかんを２個へらした場合つまりリンゴを１個ふやした場合の代金の合計は２０５０円なので、リンゴが０個の場合と比べると

２０５０－２０００＝５０円

となり合計の代金が５０円増える事がわかります。合計の代金を３００円増やすには

３００÷５０＝６

となり、リンゴを６個にすれば良い事が分かります。リンゴとなしは同じ数なのでなしも６個となります。全部で２０個なのでみかんは

２０－６－６＝８

より８個となります。答えは「みかんは８個、リンゴは６個、なしは６個」です

次に面積図を用いた解き方を紹介します

今回のように３つの品物を扱う場合３段つるかめといってこのままでは面積図では解けません。このような場合は基本的なつるかめ算のように２段つるかめに持ち込む必要があります。これは知らなければ解けないテクニックとなります。「図で考えればいつのまにか解ける」という私のポリシーに反しますが、面積図を使いたい人はぜひ覚えて下さい

（解２－１）面積図をつかう（足切りをして２段つるかめにする）

１つ目の方法は「足切をして２段つるかめに持ち込む」です。まず問題文をそのまま図にしてみます。「リンゴとなしは同じ数」という条件ですが、具体的な数が分からないので①と置いてみましょう

このままだと解けません。どうすれば良いでしょうか？

赤枠でかこった部分を図から除いてみるとどうなるでしょうか

赤枠でかこった部分をずから除くと上図の青枠でかこった部分が残ります。少し整理すると以下のようになります

残った図から

㊿＝３００円

という事がわかります。つまり

①＝６

となり、リンゴとなしはそれぞれ６個ともとまりました。全部で２０個なのでみかんは

２０－６－６＝８

より８個となります。答えは「みかんは８個、リンゴは６個、なしは６個」です

（解２－２）面積図をつかう（平均を使い２段つるかめにする）

２つ目の方法は「平均を使い２段つるかめに持ち込む」です。まず問題文をそのまま図にしてみます。「リンゴとなしは同じ数」という条件ですが、具体的な数が分からないので①と置いてみましょう

このままだと解けません。どうすれば良いでしょうか？リンゴとなしの数が同じなのでこれらを平均をとってまとめる事を考えます

リンゴが１２０円、なしが１３０円なので平均は１２５円です。これでいったん図を整理すると以下のようになります

ここで図を以下のように赤枠でかこった部分と青枠でかこった部分に分けて考えます

すると、青枠でかこった部分は縦の幅が２５円で横の幅が②なので面積は㊿となります。この代金は

２３００－２０００＝３００円

なので

㊿＝３００円

となり

①＝６個

となり、リンゴとなしはそれぞれ６個と求まりました。全部で２０個なのでみかんは

２０－６－６＝８

より８個となります。答えは「みかんは８個、リンゴは６個、なしは６個」です

【問３】
ツルとカメとかぶとむしがあわせて３５匹います。足の数の合計は１５２本です。ツルがカメより２匹少ない時、かぶと虫は何匹ですか？

（解１）つるかめ理論を使う

まずは表を使った解き方です。この問題も３つの対象について考える必要がありますが難しく考える必要はありません。そのまま３つの対象について表に整理すれば良いだけです

「ツルがカメより２少ない」とあるので「ツルが０匹、カメが２匹」の場合を考えて、次にそれぞれ１匹足した「ツルが１匹、カメが３匹」を考えて整理するのが良さそうです。表は以下のようになります

問題で与えられている足の数の合計は１５２本です。かぶとむしが３３匹の場合の足の数の合計は２０６本なので、足の数の合計の差は

２０６－１５２＝５４本

となります。一方で、かぶとむしを２匹へらした場合の足の数の合計は２００本なので、かぶとむしが３３匹の場合と比べると

２０６－２００＝６本

となり足の数の合計が６本へる事がわかります。足の数の合計を５４本へらすには

５４÷６＝９

となり、かぶとむしを９回減らせばよい事がわかります。１回につきかぶとむしは２匹へらすので、

２×９＝１８

となり、かぶとむしは1８匹へらせば良い事がわかります。つまり

３３－１８＝１５

となり、かぶとむしは１５匹と求まります

次に面積図を用いた解き方を紹介します。今回も２段つるかめに持ち込んで解いていきます

（解２－１）面積図をつかう（図をよく見て２段つるかめを発見する）

問２では「足切をして２段つるかめに持ち込む」を使いましたが問３は同じようにできるでしょうか。ちょっと考えてみて下さい。おそらく同じような解き方はできないと思います

ここでは、「図をよく見て２段つるかめを発見する」を紹介します。まず問題文をそのまま図にしてみます。「ツルがカメより２少ない」という条件ですが、具体的な数が分からないのでカメを①匹、ツルを①－２匹と置いてみましょう

この状態だとよくわかりません。ツルの①ー２匹をシンプルにしたいです。どうすればよいでしょうか

簡単です。ツルを２匹足してあげれば良いのです。ツルを２匹足すと合計は

３５＋２＝３７

で３７匹になります。足の数の合計は

１５２＋２×２＝１５６

で１５６本になります。図を書き換えると以下のようになります

だいぶすっきりしました。ここからどのようにして２段つるかめに持ち込めるでしょうか。慣れると簡単です。図をよく見て下さい

以下のように赤枠でかこった部分に気づけるでしょうか。青枠でかこった部分からもとの３段つるかめの部分を引くと赤枠でかこった部分を切り出す事ができ、２段つるかめに持ち込むことができるのです

図において、青枠でかこった部分の足の数の合計は

３７×６＝２２２本

となります。またもとの３段つるかめの部分の足の数の合計は１５６本でした。よって、赤枠でかこった部分の足の数の合計は

２２２－１５６＝６６本

となります。一方で、赤枠でかこった部分の面積は

④＋②＝⑥

と表す事ができますね。つまり

⑥＝６６

となり

①＝１１

が導けます。①は図におけるツルとカメそれぞれの頭数です。よってかぶとむしは全体の頭数である３７匹からツルとカメの頭数を引けばよいので

３７－１１－１１＝１５匹

となりかぶとむしは１５匹と求まります

（解２－２）面積図をつかう（平均を使い２段つるかめにする）

問２と同様に「平均を使い２段つるかめに持ち込む」も使う事ができます。まず問題文をそのまま図にしてみます。「ツルがカメより２少ない」という条件ですが、具体的な数が分からないのでカメを①匹、ツルを①－２匹と置いてみましょう

この状態だとよくわかりません。ツルの①ー２匹をシンプルにしたいです。どうすればよいでしょうか

簡単です。ツルを２匹足してあげれば良いのです。ツルを２匹足すと合計は

３５＋２＝３７

で３７匹になります。足の数の合計は

１５２＋２×２＝１５６

で１５６本になります。図を書き換えると以下のようになります

ここまでは、（解２－１）と同じです

このままだと解けません。どうすれば良いでしょうか？ツルとカメの数が同じなのでこれらを平均をとってまとめる事を考えます

ツルの足は２本、カメの足は４本で頭数は①で同じなので平均は３本です。これでいったん図を整理すると以下のようになります

ここで図を以下のように赤枠でかこった部分と青枠でかこった部分に分けて考えます

すると、赤枠でかこった部分は縦の幅が３本で横の幅が３７匹なので足の数の合計は

３×３７＝１１１

となり１１１本です。青枠で囲った部分は全体の１５６本から赤枠で囲った部分を引けばよいので

１５６－１１１＝４５

となり４５本です。青枠で囲った部分の縦の幅は３本で横の幅を☐匹とすると

３×☐＝４５

なので

☐＝１５

となり、かぶとむしは１５匹と求まります

【問４】
ツルとカメとかぶとむしが合わせて３５匹います。足の数の合計は１４６本です。カメはツルの２倍います。カメは何匹ですか？

（解１）つるかめ理論を使う

まずは表を使った解き方です。この問題も３つの対象について考える必要がありますが難しく考える必要はありません。そのまま３つの対象について表に整理すれば良いだけです

「カメはツルの２倍います」とあるので「ツルが１匹、カメが２匹」の場合を考えて、次に「ツルが２匹、カメが４匹」とツルとカメを増やして整理するのが良さそうです。表は以下のようになります

問題で与えられている足の数の合計は１４６本です。カメが２匹の場合の足の数の合計は２０２本なので、足の数の合計の差は

２０２－１４６＝５６本

となります。一方で、カメを２匹ふやした場合の足の数の合計は１９４本なので、カメが２匹の場合と比べると

２０２－１９４＝８本

となり足の数の合計が６本へる事がわかります。足の数の合計を５６本へらすには

５６÷８＝７

となり、カメを７回増やせばよい事がわかります。１回につきカメは２匹増えるので、

２×７＝１４

となり、カメは１４匹増やせば良い事がわかります。つまり

２＋１４＝１６

となり、カメは１６匹と求まります

（解２－１）面積図をつかう（図をよく見て２段つるかめを発見する）

「図をよく見て２段つるかめを発見する」で解いてみましょう。まず問題文をそのまま図にしてみます。「カメはツルの２倍います」という条件ですが、具体的な数が分からないのでツルを①匹、カメを②匹と置いてみましょう

ここからどのようにして２段つるかめに持ち込めるでしょうか。図をよく見て下さい

以下のように赤枠でかこった部分に気づけるでしょうか。青枠でかこった部分からもとの３段つるかめの部分を引くと赤枠でかこった部分を切り出す事ができ、２段つるかめに持ち込むことができるのです

図において、青枠でかこった部分の足の数の合計は

３５×６＝２１０本

となります。またもとの３段つるかめの部分の足の数の合計は１４６本でした。よって、赤枠でかこった部分の足の数の合計は

２１０－１４６＝６４本

となります。一方で、赤枠でかこった部分の面積は

④＋④＝⑧

と表す事ができますね。つまり

⑧＝６４

となり

①＝８

となります。求めたいのはカメの数です。カメの数は②なので

②＝①×２＝８×２＝１６

となりカメは１６匹と求まります

（解２－２）面積図をつかう（平均を使い２段つるかめにする）

平均を使って２段つるかめに持ち込む方法は図とメモだけ示しておきます。自力で解いてください

【問５】
Ａ君とＢ君の２人がじゃんけんをして、勝った方には３点を与え、負けた方からは２点を引き、あいこの場合はそれぞれに１点ずつを与えます。はじめの２人の持ち点はそれぞれ２０点とします。
じゃんけんを１５回したところ、２人の持ち点の合計は６０点でした。このとき、あいこは何回でしたか？

問５は「基本的な解き方」でまず解いてみましょう。少し複雑な表になりますがひねりはないです。面積図を使う場合には、問題の本質をとらえた面積図が書ければ瞬殺です

まず問題を整理します。はじめの２人の持ち点はそれぞれ２０点なので合計で４０点です。じゃんけんを１５回して２人の持ち点の合計が６０点になるという事は、合計が２０点増えれば良いという事になります

（解１）つるかめ理論を使う

表を使った解き方です。といっても　どのような表にして良いのかよくわかりません。上に書きましたが「合計で２０点増える」という事は意識するようにしましょう。その上で、全てのパターンで合計点がどう変わるのかをまず見てみます。「A君が勝った場合」「B君が勝った場合」「引分けの場合」の３パターンです

はじめは、A君が２０点、B君が２０点持っているので合計４０点ですね

• 「A君が勝った場合」
  A君は３点増えるので２３点になります。B君は２点減るので１８点になります。合計は４１点となります
• 「B君が勝った場合」
  A君は２点減るので１８点になります。B君は３点増えるので２３点になります。合計は４１点となります

A君が勝ってもB君が勝ってもどちらの場合も合計は４１点で同じです。つまり勝敗が付く場合はどちらが勝っても合計は１点増える事になります

• 「引分けの場合」
  A君は１点増えるので２１点になります。B君は１点増えるので２１点になります。合計は４２点となります

引き分けの場合には合計は２点増える事がわかりました

ここからが本番です。上で整理した「引き分け」と「勝敗がつく」で整理するのが良さそうです。１５回全て引き分けた場合、１４回引き分けた場合と順に考えていくと表は以下のようになります

引き分けが１５回の場合、１５回じゃんけんをすると合計は３０点増えます。引き分けが１４回の場合は２０点増えます

では、合計が２０点増えるためには引き分けは何回であればよいでしょうか？

３０点と２０点の差は１０点で、引き分けが１回減ると点数の合計は１点減るので１０点減るためには引き分けの回数が１０回減ればい事になります。つまり、引き分けの回数は

１５－１０＝５

となり５回と求める事ができました

この問題は初めて見て解くのは非常に難しいと思いますが、順に整理するように心がけて下さい。ポイントは以下です

• 勝敗でポイントを加算する類の問題は「勝敗がつく場合」「引き分けの場合」の２種類で分類する
• どちらが勝とうが「勝敗がつく場合」の点数の変化は同じ

（解２）面積図をつかう

面積図を使う場合も、いったんは解１と同じように整理し以下を把握しておきます

• １５回のじゃんけんで合計は２０点増える
• 勝敗がつく場合はどちらが勝っても合計は１点増える
• 引き分けの場合には合計は２点増える

これを面積図であらわすと以下のようになります

あとはわかりますね？

１５回全て勝敗がついた場合は

１×１５=１５

で合計は１５点増えます(図の赤枠)。１５回じゃんけんして２０点増えるので図の青枠部分の５点足りていません。この５点を増やすためには引き分けは☐回とすると

☐＝５÷１＝５

となり引き分けは５回と求める事ができました

それでは頑張りましょう

参考：目次