6-3. ニュートン算(面積図)
[Rev.0.02 2021/5/3]
こんにちは、kaneQです
「算数は図で考える」を身につけ、算数の成績を伸ばしましょう
参考：目次
本記事では、「ニュートン算」を紹介します
今回のゴールは以下です
ゴール：「ニュートン算」を面積図で解けるようにする
(「ニュートン算」を線分図で解く方法はこちらをご参照ください)
必要な知識：面積図の基本
ニュートン算は、仕事算の一種です。典型的な仕事算と違うのは、仕事を処理している一方で一定の割合で仕事が増えていくという点です
中学受験算数の特殊算の中でニュートン算は難易度が高いと言われていますが、「算数は図で考える」を身につければ非常に簡単に解く事ができます。恐れずに頑張りましょう
本記事では以下６つの問題を紹介します。問１から問４は基本的な問題なので実際の入試には出ないと思います。ですが、面積図に慣れるためにしっかりと理解してください。問７は難易度があがりますが、中学受験で非常に多く出題される典型的なレベルなので確実に解けるようにしておきましょう
【問１】基本：水そうが空になるまでの時間が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、何分後に水そうは空になるでしょう
【問２】基本：一定時間でこなす仕事量（ポンプがくみ出す水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
ポンプは毎分何Ｌの水をくみ出すでしょう
【問３】基本：一定時間で増える仕事量（じゃ口から入る水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
水道のじゃ口は毎分何Ｌの水を入れるでしょう
【問４】基本：元の仕事量（水そうに入っている水の量）が分からない
水そうに水が何Ｌか入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
はじめに水そうに入っていた水は何Ｌでしょう
【問５】標準
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうはからになります
ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう
【問６】
太朗君は今いくらかのお金を持っています。毎月決まった額のおこづかいをもらいます。１か月に1000円ずつ使うと3か月でなくなってしまいます。しかし、１か月に800円ずつ使うと5か月でなくなるといいます。太朗君が今持っているお金はいくらでしょうか。
【問７】標準
何Ｌかの水が入っている水そうと６台の同じポンプがあります。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります。６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります。
５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう
それでは順番に解いてみます
今までも取り組んできましたが、わからない量は①等と置き換えて面積図を書いていく事がポイントになります
【問１】基本：水そうが空になるまでの時間が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、何分後に水そうは空になるでしょう
まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます
これは初めに入っていた水の量ですね
次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」を図に書き足します。ここで、「何分後に水そうは空になる」とありますが、何分かわからないので、水そうが空になるまでの時間を①分と置いてみます
「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」は「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を①分間入れる」に置き換えます
このように、はじめに入っていた水の量と①分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？
そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を①分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう
ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します
もともと水そうに入っていた２４０Ｌは⑧Ｌに相当する事が分かりました。したがって
①＝３０
となります。①は水そうが空になるまでの時間だったので答えは３０分と求める事ができました
【問２】基本：一定時間でこなす仕事量（ポンプがくみ出す水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
ポンプは毎分何Ｌの水をくみ出すでしょう
まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます
これは初めに入っていた水の量ですね
次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」「３０分」を図に書き足します
このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？
そうです「１台のポンプで毎分何Ｌかの水を３０分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量が分からないので①と置いて、図に書き足してみましょう
ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します
ポンプでくみ出す水の量㉚は３６０Ｌである事が分かりました。したがって
①＝１２
となります。①は１台のポンプが毎分くみ出す水の量だったので答えは１２Ｌと求める事ができました
【問３】基本：一定時間で増える仕事量（じゃ口から入る水の量）が分からない
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
水道のじゃ口は毎分何Ｌの水を入れるでしょう
まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます
これは初めに入っていた水の量ですね
次に、「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を３０分間入れる」を図に書き足します。水道のじゃ口から毎分入る水の量が分からないので①と置いてみます
このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？
そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を３０分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう
ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します
水道のじゃ口から入る水の量㉚Lは１２０Ｌである事が分かりました。したがって
①＝４
となります。①は水道のじゃ口から毎分入る水の量だったので答えは４Ｌと求める事ができました
【問４】基本：元の仕事量（水そうに入っている水の量）が分からない
水そうに水が何Ｌか入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分１２Ｌの水をくみ出すと、３０分後に水そうは空になります
はじめに水そうに入っていた水は何Ｌでしょう
まず、「水そうに水が何Ｌか入っています」を面積図であらわしてみます。水そうに入っている水の量が分からないので①と置いておきます
次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を３０分間入れる」を図に書き足します
このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？
そうです「１台のポンプで毎分１２Ｌの水を３０分間くみ出した水の量」となります。図に書き足してみましょう
ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します
水そうに入っている水の量は①でした。図より①は２４０Ｌと求める事ができました
【問５】標準
水そうに水が２４０Ｌ入っています。今、水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れながら、１台のポンプで毎分何Ｌかの水をくみ出すと、３０分後に水そうはからになります
ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう
この問題、解けるでしょうか？
「標準」としていますが、難易度は低いです。ただ、このままだとどのように解いて良いか迷う人も多いと思います。そこで、以下のように問題をばらしてみましょう
(１)１台のポンプが毎分くみ出す水の量は何Ｌでしょう
(２) ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう
どうでしょうか。何か気付いたでしょうか。そうです（１）は前述の問２と全く同じです。まず、問２の考え方を使って１台のポンプがくみ出す水の量を求め、ポンプが２台だったらどうなるかを考えていきます
それでは順に解いてみます
(１)１台のポンプが毎分くみ出す水の量は何Ｌでしょう（問２と同じです）
まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます
これは初めに入っていた水の量ですね
次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」「３０分」を図に書き足します
このように、はじめに入っていた水の量と３０分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？
そうです「１台のポンプで毎分何Ｌかの水を３０分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量が分からないので①と置いて、図に書き足してみましょう
ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します
ポンプでくみ出す水の量㉚は３６０Ｌである事が分かりました。したがって
①＝１２
となります。①は１台のポンプが毎分くみ出す水の量だったので答えは１２Ｌと求める事ができました
(２) ポンプ２台でくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう
（１）で書いた図とは別に図を書きましょう。まず、「水そうに水が２４０Ｌ入っています」をそのまま面積図であらわしてみます
これは初めに入っていた水の量ですね
次に、「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」を図に書き足します。ここで、「何分後に水そうは空になる」とありますが、何分かわからないの、水そうが空になるまでの時間を①分と置いてみます
「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を入れる」は「水道のじゃ口から毎分４Ｌの水を①分間入れる」に置き換えます
このように、はじめに入っていた水の量と①分間に水道のじゃ口から入れた水の量を面積図であらわす事ができました。この量は何の量だと思いますか？
そうです「２台のポンプで水を①分間くみ出した水の量」となります。１台のポンプが毎分くみ出す水の量は（１）より１２Ｌと求めたので図は以下のようになります
ここまで来たら解けたも同然です。少し整理します
初めに水そうに入っていた水の量は２４０Ｌでこれが⑳に相当するので
①＝１２
となります。①は水そうが空になるまでの時間だったので１２分と求まりました
【問６】
太朗君は今いくらかのお金を持っています。毎月決まった額のおこづかいをもらいます。１か月に1000円ずつ使うと3か月でなくなってしまいます。しかし、１か月に800円ずつ使うと5か月でなくなるといいます。太朗君が今持っているお金はいくらでしょうか。
この問題は、「事例紹介」で詳しく説明してますのでそちらをご参照くださいませ
【問７】標準
何Ｌかの水が入っている水そうと６台の同じポンプがあります。今、水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら、４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります。６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります。
５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう
この問題は、初めに水そうに入っている水の量、ポンプが毎分くみ出す水の量、水道のじゃ口から毎分入る水の量の全てがわかりません。そのかわり、４台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間、６台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間が与えられています。これらを整理する事で５台のポンプを使用した場合に水そうが空になる時間を求める事ができるのです。これも１つ１つ整理して図を書いていく事で解く事ができます。説明が長くなりますが、じっくりと理解して自分のものにしてください
まず最初に最終図面を紹介しておきます。結構複雑な図になってますがビビらないで下さいね
複雑な図ですが、１つ１つの図は難しくありません。１つ１つ図を書いていきましょう
「何Ｌかの水が入っている水そう」「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら」「４台のポンプで水をくみ出すと、２４分後に水そうは空になります」を図にしたいと思います。ここで、初めに水そうに入っている水の量はわからないので☐としておきます。また、水道のじゃ口から毎分入る水の量を
とします。また、１台のポンプが毎分くみ出す水の量を
とします。すると図は以下のようになります
「何Ｌかの水が入っている水そう」「水道のじゃ口から毎分何Ｌかの水を入れながら」「６台のポンプで水をくみ出すと、８分後に水そうは空になります」。先ほどの図の下に別の図として書きたしてみましょう
何か気付く事があるでしょうか
左の図と右の図で赤枠で囲った部分の面積の差は、青枠で囲った面積の差だという事に気づけたでしょうか？これより、
という関係が見えてきました！これより、
☐＝①×２４＝㉔Ｌ
も導けると思います
ここまで来てようやく問題を解く準備ができました。「５台のポンプでくみ出すと、水そうは何分で空になるでしょう」を考えてみます。ここで、水そうが空になるまでの時間が分からないので
と置いてみます。図は以下のようになります
上の図からわかるように
を導く事ができました
は５台のポンプを使た時の水そうが空になるまでの時間でしたので答えは１２分と求まりました
今まで書いた図をならべると以下のようになります
この図を一人でもかけるように何度も繰り返し練習してください
以上でニュートン算の標準レベルまでの説明を終わります。標準レベルの問題が完全に理解できると、応用問題も解けるようになります。応用問題としては、つるかめ算と組み合わせたり、初めの条件が変わった場合どうなるかを考えさせられる問題がありますが難問はありません。しつこいですが、本記事の問７を確実に解けるよう何度も練習してみて下さい
それでは頑張りましょう！
参考：目次
